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已知3阶矩阵A的第1行是(a,b,c),矩阵B=(k为常数),且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.
已知3阶矩阵A的第1行是(a,b,c),矩阵B=(k为常数),且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.
admin
2018-07-27
79
问题
已知3阶矩阵A的第1行是(a,b,c),矩阵B=
(k为常数),且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.
选项
答案
由于AB=O,知B的每一列都是方程组Ax=0的解,因此Ax=0至少有r(B)个线性无关解,所以Ax=0的基础解系至少含r(B)个向量,即3-r(A)≥r(B),或r(A)≤3-r(B).又由a,b,c不全为零,可知r(A)≥1. 当k≠9时,r(B)=2,有1≤r(A)≤1,于是r(A)=1; 当k=0时,r(B)=1,有1≤r(A)≤2.于是r(A)=1或r(A)=2. 当k≠9时,由AB=O可得 [*] 由于η
1
=(1,2,3)
T
,η
2
=(3,6,k)
T
线性无关,故η
1
,η
2
为Ax=0的一个基础解系,于是Ax=0的通解为 x=c
1
η
1
+c
2
η
2
,其中c
1
,c
2
为任意常数 当k=9时,分别就r(A)=2和r(A)=1讨论如下: 如果r(A)=2.则Ax=0的基础解系由一个向量构成.又因为A[*]=0,所以Ax=0的通解为 x=c
1
(1,2,3)
T
,其中c
1
为任意常数. 如果r(A)=1,则Ax=0的基础解系由两个向量构成.又因为A的第一行为(a,b,c)且a,b,C不全为零,所以Ax=0等价于ax
1
+bx
2
+cx
3
=0.不妨设a≠0,则η
1
=(-b,a,0)
T
,η
2
=(-c,0,a)
T
是Ax=0的两个线性无关的解,从而η
1
,η
2
可作为Ax=0的基础解系.故Ax=0的通解为 x=c
1
η
1
+c
2
η
2
,其中c
1
,c
2
为任意常数.
解析
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考研数学三
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