求一个以y1=tet，y2=sin 2t为两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解．

admin2021-08-02 73

问题求一个以y₁=te^t，y₂=sin 2t为两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解．

选项

答案由y₁=te^x可知y₃=e^x亦为其解，由y₂=sin 2t可得y₄=cos2t也是其解，故所求方程对应的特征方程的根，r₁=r₃=1，r₂=2i，r₄=一2i．其特征方程为 (r一1)²(r²+4)=0，即r⁴一2r³+5r²一8r+4=0．故所求微分方程为y⁽⁴⁾—2y”+5y”—8y’+4y=0，其通解为 y=(C₁+C₂t)e^t+C₃cos2t+C₄sin2t，其中C₁，C₂，C₃，C₄为任意常数．

解析

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