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设f(x)在(-∞,+∞)有连续的导数,且f(0)=0,f’(0)=1, (Ⅰ) 求常数A使得F(x)在(-∞,+∞)连续. (Ⅱ) 确定A后,求F’(x)并证明F’(x)在(-∞,+∞)连续.
设f(x)在(-∞,+∞)有连续的导数,且f(0)=0,f’(0)=1, (Ⅰ) 求常数A使得F(x)在(-∞,+∞)连续. (Ⅱ) 确定A后,求F’(x)并证明F’(x)在(-∞,+∞)连续.
admin
2015-05-07
72
问题
设f(x)在(-∞,+∞)有连续的导数,且f(0)=0,f’(0)=1,
(Ⅰ) 求常数A使得F(x)在(-∞,+∞)连续.
(Ⅱ) 确定A后,求F’(x)并证明F’(x)在(-∞,+∞)连续.
选项
答案
本题讨论的函数F(x)是分段函数,且表达式中含变限积分,被积函数还含参变量x,先作变量替换化为纯变限积分的情形: [*] (Ⅰ)因x≠0时显然F(x)连续,要使F(x)在(-∞,+∞)连续,只需F(x)在x=0连续,即 A=[*] [*] (Ⅱ)x≠0时, [*] 由连续性运算法则及变限积分函数的连续性知,x≠0时F’(x)连续,又 [*] F’(0)=[*],从而F’(x)在x=0也连续,因此F’(x)在(-∞,+∞)处处连续.
解析
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考研数学一
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