2. 考研
  3. 设f(x)在(－∞，+∞)有连续的导数，且f(0)=0，f’(0)=1， (Ⅰ) 求常数A使得F(x)在(－∞，+∞)连续． (Ⅱ) 确定A后，求F’(x)并证明F’(x)在(－∞，+∞)连续．

设f(x)在(－∞，+∞)有连续的导数，且f(0)=0，f’(0)=1， (Ⅰ) 求常数A使得F(x)在(－∞，+∞)连续． (Ⅱ) 确定A后，求F’(x)并证明F’(x)在(－∞，+∞)连续．

admin2015-05-07  38
问题 设f(x)在(－∞，+∞)有连续的导数，且f(0)=0，f’(0)=1，

    (Ⅰ) 求常数A使得F(x)在(－∞，+∞)连续．
    (Ⅱ) 确定A后，求F’(x)并证明F’(x)在(－∞，+∞)连续．
选项
答案本题讨论的函数F(x)是分段函数，且表达式中含变限积分，被积函数还含参变量x，先作变量替换化为纯变限积分的情形： [*] (Ⅰ)因x≠0时显然F(x)连续，要使F(x)在(－∞，+∞)连续，只需F(x)在x=0连续，即 A=[*] [*] (Ⅱ)x≠0时， [*] 由连续性运算法则及变限积分函数的连续性知，x≠0时F’(x)连续，又 [*] F’(0)=[*]，从而F’(x)在x=0也连续，因此F’(x)在(－∞，+∞)处处连续．
解析
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考研数学一

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