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设f(x)在[a,b]上连续且严格单调增加,证明: (a+b)∫abf(x)dx<2∫abxf(x)dx.
设f(x)在[a,b]上连续且严格单调增加,证明: (a+b)∫abf(x)dx<2∫abxf(x)dx.
admin
2018-09-25
29
问题
设f(x)在[a,b]上连续且严格单调增加,证明: (a+b)∫
a
b
f(x)dx<2∫
a
b
xf(x)dx.
选项
答案
令F(t)=(a+t)∫
a
t
f(x)dx-2∫
a
t
xf(x)dx,则 F’(t)=∫
a
t
f(x)dx+(a+t)f(t)-2tf(t) =∫
a
t
f(x)dx-(t-a)f(t)=∫
a
t
f(x)dx-∫
a
t
f(t)dx =∫
a
t
[f(x)-f(t)]dx. 因为a≤x≤t,且f(x)在[a,b]上严格单调增加,所以f(x)-f(t)≤0,于是有 F’(t)=∫
a
t
[f(x)-f(t)]dx≤0, 即F(t)单调减少,又F(a)=0,所以F(b)<0,从而(a+b)∫
a
b
f(x)dx-2∫
a
b
xf(x)dx<0, 即(a+b)∫
a
b
f(x)dx<2∫
a
b
xf(x)dx.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eYg4777K
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考研数学一
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