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  3. 讨论曲线y=2lnx与y=2x+ln2x+k在(0，+∞)内的交点个数(其中k为常数)．

讨论曲线y=2lnx与y=2x+ln2x+k在(0，+∞)内的交点个数(其中k为常数)．

admin2016-10-26  54
问题 讨论曲线y=2lnx与y=2x+ln2x+k在(0，+∞)内的交点个数(其中k为常数)．
选项
答案令f(x)=2x+ln2x+k－2lnx(x∈(0，+∞))，于是本题两曲线交点个数即为函数f(x)的零点个数．由 f′(x)=2+[*](x+lnx－1)， 令f′(x)=0可解得唯一驻点x0=1∈(0，+∞)． 当0＜x＜1时f′(x)＜0，f(x)单调减少；而当x＞1时f′(x)＞0，f(x)单调增加．于是f(1)=2+k为f(x)在(0，+∞)内唯一的极小值点，且为(0，+∞)上的最小值点．因此f(x)的零点个数与最小值f(1)=2+k的符号有关． 当f(1)＞0即k＞－2时f(x)在(0，+∞)内恒为正值函数，无零点． 当f(1)=0即k=－2时f(x)在(0，+∞)内只有一个零点x0=1． 当f(1)＜0即k＜－2时需进一步考察f(x)在x→0+与x→+∞的极限： [*] 由连续函数的零点定理可得，[*]x1∈(0，1)与x2∈(1，+∞)使得f(x1)=f(x2)=0，且由f(x)在(0，1)与(1，+∞)内单调可知f(x)在(0，1)内与(1，+∞)内最多各有一个零点，所以当k＜－2时，f(x)在(0，+∞)内恰有两个零点．
解析
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考研数学一

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