求圆x2+y2=1的一条切线，使此切线与抛物线y=x2－2所围面积取最小值，并求此最小值．

admin2016-10-26 53

问题求圆x²+y²=1的一条切线，使此切线与抛物线y=x²－2所围面积取最小值，并求此最小值．

选项

答案如图4．5，圆周的参数方程为x=cosθ，y=sinθ．圆周上[*]点(cosθ，sinθ)处切线的斜率是[*]=－cotθ，于是切线方程是 [*] [*] 它与y=x²—2交点的横坐标较小者为α，较大者为β，则α，β是方程x²+xcotθ－2－[*]=0的根，并且切线与抛物线所围面积为 [*] 为求[*](β—α)³最小值，只要求(β—α)²最小值，由一元二次方程根与系数关系得 (β—α)²=(β+α)²—4αβ=cot²θ+4(2+[*]) [*] 所以，当[*]+2=0时取最小值3．由 [*] 因此，所围面积最小值为[*] 所求切线有两条：[*]

解析

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考研数学一

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