2. 考研
  3. (1)设f(x)是以T为周期的连续函数，试证明：∫0xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和，并求出此常数k； (2)求(1)中的∫0x(t)dt； (3)以[x]表示不超过x的最大整数，g(x)=x一[x]，求∫0x

(1)设f(x)是以T为周期的连续函数，试证明：∫0xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和，并求出此常数k； (2)求(1)中的∫0x(t)dt； (3)以[x]表示不超过x的最大整数，g(x)=x一[x]，求∫0x

admin2019-06-28  47
问题 (1)设f(x)是以T为周期的连续函数，试证明：∫0xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和，并求出此常数k；
    (2)求(1)中的∫0x(t)dt；
    (3)以[x]表示不超过x的最大整数，g(x)=x一[x]，求∫0xg(t)dt。
选项
答案(1)令φ(x)=∫0xf(t)dt一kx，考查 φ(x+T)一φ(x)=∫0x+Tf(t)dt一k(x+T)一∫0xf(t)dt+kx =∫0Tf(t)dt+∫Tx+Tf(t)dt—∫0xf(t)dt—kT． 对于其中的第二个积分，作积分变量代换，令t=u+T，有 ∫Tx+Tf(t)dt=∫0xf(u+T)du=∫0xf(u)du， ① 于是 φ(x+T)一φ(x)=∫0Tf(t)dt一kT。 可见，φ(x)为T周期函数的充要条件是 [*]
解析 (1)证明能取到常数k使∫0xft)dt一kx为周期T即可．(1)得到的表达式去求∫0xf(t)出即可得(2)．但请读者注意，一般不能用洛必达法则求此极限，除非f(x)恒为常数．对于(3)，由于g(x)不连续，如果要借用(1)的结论，需要更深一层的结论．由于g(x)可以具体写出它的分段表达式，故可直接积分再用夹逼定理即得。
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考研数学二

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