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(1)设f(x)是以T为周期的连续函数,试证明:∫0xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和,并求出此常数k; (2)求(1)中的∫0x(t)dt; (3)以[x]表示不超过x的最大整数,g(x)=x一[x],求∫0x
(1)设f(x)是以T为周期的连续函数,试证明:∫0xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和,并求出此常数k; (2)求(1)中的∫0x(t)dt; (3)以[x]表示不超过x的最大整数,g(x)=x一[x],求∫0x
admin
2019-06-28
80
问题
(1)设f(x)是以T为周期的连续函数,试证明:∫
0
x
f(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和,并求出此常数k;
(2)求(1)中的
∫
0
x
(t)dt;
(3)以[x]表示不超过x的最大整数,g(x)=x一[x],求
∫
0
x
g(t)dt。
选项
答案
(1)令φ(x)=∫
0
x
f(t)dt一kx,考查 φ(x+T)一φ(x)=∫
0
x+T
f(t)dt一k(x+T)一∫
0
x
f(t)dt+kx =∫
0
T
f(t)dt+∫
T
x+T
f(t)dt—∫
0
x
f(t)dt—kT. 对于其中的第二个积分,作积分变量代换,令t=u+T,有 ∫
T
x+T
f(t)dt=∫
0
x
f(u+T)du=∫
0
x
f(u)du, ① 于是 φ(x+T)一φ(x)=∫
0
T
f(t)dt一kT。 可见,φ(x)为T周期函数的充要条件是 [*]
解析
(1)证明能取到常数k使∫
0
x
ft)dt一kx为周期T即可.(1)得到的表达式去求
∫
0
x
f(t)出即可得(2).但请读者注意,一般不能用洛必达法则求此极限,除非f(x)恒为常数.对于(3),由于g(x)不连续,如果要借用(1)的结论,需要更深一层的结论.由于g(x)可以具体写出它的分段表达式,故可直接积分再用夹逼定理即得。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eaV4777K
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考研数学二
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