设f(χ)在[a,b]上二阶可导且f〞(χ)>0,证明:f(χ)在(a,b)内为凹函数.

admin2018-05-17  60

问题 设f(χ)在[a,b]上二阶可导且f〞(χ)>0,证明:f(χ)在(a,b)内为凹函数.

选项

答案对任意的χ1,χ2∈(a,b)且χ1≠χ2,取χ0=[*],由泰勒公式得 f(χ)=f(χ0)+f′(χ0)(χ-χ0)+[*](χ-χ0)2,其中ξ介于χ0与χ之间. 因为f〞(χ)>0,所以f(χ)≥f(χ0)+f′(χ0)(χ-χ0),“=”成立当且仅当“χ=χ0”, 从而[*] 两式相加得f(χ0)<[*], 即[*] 由凹函数的定义,f(χ)在(a,b)内为凹函数.

解析
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