设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=0，其中 (1)求正交变换X=Qy将二次型化为标准形； (2)求矩阵A．

admin2021-11-15 101

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=0，其中

(1)求正交变换X=Qy将二次型化为标准形；
(2)求矩阵A．

选项

答案(1)由AB+B=0得(E+A)B=0，从而r(E+A)+r(B)≤3，因为r(B)=2，所以r(E+A)≤1，从而λ=-1为A的特征值且不低于2重，显然λ=-1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ₁=λ₂=-1，λ₃=5．由(E+A)B=0得B的列组为(E+A)X=0的解， [*]

解析

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