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设A为n阶实对称可逆矩阵f(χ1,χ2,…,χN)=. (1)记X=(χ1,χ2,…,χn)T,把二次型f(χ1,χ2,…,χn)写成矩阵形式; (2)二次型g(X)=XTAX是否与f(χ1,χ2,…,χn)合同?
设A为n阶实对称可逆矩阵f(χ1,χ2,…,χN)=. (1)记X=(χ1,χ2,…,χn)T,把二次型f(χ1,χ2,…,χn)写成矩阵形式; (2)二次型g(X)=XTAX是否与f(χ1,χ2,…,χn)合同?
admin
2021-11-09
57
问题
设A为n阶实对称可逆矩阵f(χ
1
,χ
2
,…,χ
N
)=
.
(1)记X=(χ
1
,χ
2
,…,χ
n
)
T
,把二次型f(χ
1
,χ
2
,…,χ
n
)写成矩阵形式;
(2)二次型g(X)=X
T
AX是否与f(χ
1
,χ
2
,…,χ
n
)合同?
选项
答案
(1)f(X)=(χ
1
,χ
2
,…,χ
n
)[*] 因为r(A)=n,所以|A|≠0,于是[*]A
*
=A
-1
,显然A
*
,A
-1
都是实对称矩阵. (2)因为A可逆,所以A的n个特征值都不是零,而A与A
-1
合同,故二次型f(χ
1
,χ
2
,…,χ
n
)与g(X)=X
T
AX规范合同.
解析
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考研数学二
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