设F(x)=∫-11|x－t|(e-1+1),讨论F(x)在[-1,1]上的零点个数。

admin2021-07-15 61

问题设F(x)=∫_-1¹|x－t|

(e^-1+1),讨论F(x)在[-1,1]上的零点个数。

选项

答案F(x)=∫_-1^x(x－t)[*]dt+∫_x¹(t－x)[*]dt－[*](e^-1+1) =x∫_-1^x[*]dt－∫_-1^xt[*]dt+∫_x¹t[*]dt－x∫_x¹[*]dt－[*](e^-1+1) F’(x)=∫_-1^x[*]dt+x[*]－x[*]－x[*]－∫_x¹[*]dt+x[*] =∫_-1^x[*]dt－∫_x¹[*]dt 对第二个积分作变量替换，t=-u,有 F’(x)=∫_-1^x[*]dt+∫_-x^-1[*]du=∫_-x^x[*]dt=2∫₀^x[*]dt. 当0＜x≤1时，F’(x)＞0；当－1≤x＜0时，F’(x)＜0；所以在区间[－1,0]上F(x)严格单调减少，在区间[0,1]上F(x)严格单调增加，此外， F(－1)=∫_-1¹t[*]dt+∫_-1¹[*]dt－[*](e^-1+1)=0+2∫₀¹[*]dt－[*](e^-1+1) ＞2∫₀¹e^-tdt－[*](e^-1+1)=[*]e^-1＞0 F(0)=∫_-1¹｜t｜[*]dt－[*](e^-1+1)=2∫₀¹t[*]dt－[*](e^-1+1) =－e^-1+1－[*](e^-1+1)=[*]e^-1＜0 F(1)=∫_-1¹[*]dt－∫_-1¹t[*]dt－[*](e^-1+1) =2∫₀¹[*]dt－[*](e^-1+1)＞0 由连续函数零点定理可知，F(x)在区间（－1,0)与（0,1）内至少各有一个零点，再由单调性可知，在这两个区间内正好各有一个零点，共有且仅有两个零点。

解析

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考研数学二

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