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  3. 设F(x)=∫-11|x－t|(e-1+1),讨论F(x)在[-1,1]上的零点个数。

设F(x)=∫-11|x－t|(e-1+1),讨论F(x)在[-1,1]上的零点个数。

admin2021-07-15  44
问题 设F(x)=∫-11|x－t|(e-1+1),讨论F(x)在[-1,1]上的零点个数。
选项
答案F(x)=∫-1x(x－t)[*]dt+∫x1(t－x)[*]dt－[*](e-1+1) =x∫-1x[*]dt－∫-1xt[*]dt+∫x1t[*]dt－x∫x1[*]dt－[*](e-1+1) F’(x)=∫-1x[*]dt+x[*]－x[*]－x[*]－∫x1[*]dt+x[*] =∫-1x[*]dt－∫x1[*]dt 对第二个积分作变量替换，t=-u,有 F’(x)=∫-1x[*]dt+∫-x-1[*]du=∫-xx[*]dt=2∫0x[*]dt. 当0＜x≤1时，F’(x)＞0； 当－1≤x＜0时，F’(x)＜0； 所以在区间[－1,0]上F(x)严格单调减少，在区间[0,1]上F(x)严格单调增加，此外， F(－1)=∫-11t[*]dt+∫-11[*]dt－[*](e-1+1)=0+2∫01[*]dt－[*](e-1+1) ＞2∫01e-tdt－[*](e-1+1)=[*]e-1＞0 F(0)=∫-11｜t｜[*]dt－[*](e-1+1)=2∫01t[*]dt－[*](e-1+1) =－e-1+1－[*](e-1+1)=[*]e-1＜0 F(1)=∫-11[*]dt－∫-11t[*]dt－[*](e-1+1) =2∫01[*]dt－[*](e-1+1)＞0 由连续函数零点定理可知，F(x)在区间（－1,0)与（0,1）内至少各有一个零点，再由单调性可知，在这两个区间内正好各有一个零点，共有且仅有两个零点。
解析
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考研数学二

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