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设F(x)=∫-11|x-t|(e-1+1),讨论F(x)在[-1,1]上的零点个数。
设F(x)=∫-11|x-t|(e-1+1),讨论F(x)在[-1,1]上的零点个数。
admin
2021-07-15
63
问题
设F(x)=∫
-1
1
|x-t|
(e
-1
+1),讨论F(x)在[-1,1]上的零点个数。
选项
答案
F(x)=∫
-1
x
(x-t)[*]dt+∫
x
1
(t-x)[*]dt-[*](e
-1
+1) =x∫
-1
x
[*]dt-∫
-1
x
t[*]dt+∫
x
1
t[*]dt-x∫
x
1
[*]dt-[*](e
-1
+1) F’(x)=∫
-1
x
[*]dt+x[*]-x[*]-x[*]-∫
x
1
[*]dt+x[*] =∫
-1
x
[*]dt-∫
x
1
[*]dt 对第二个积分作变量替换,t=-u,有 F’(x)=∫
-1
x
[*]dt+∫
-x
-1
[*]du=∫
-x
x
[*]dt=2∫
0
x
[*]dt. 当0<x≤1时,F’(x)>0; 当-1≤x<0时,F’(x)<0; 所以在区间[-1,0]上F(x)严格单调减少,在区间[0,1]上F(x)严格单调增加,此外, F(-1)=∫
-1
1
t[*]dt+∫
-1
1
[*]dt-[*](e
-1
+1)=0+2∫
0
1
[*]dt-[*](e
-1
+1) >2∫
0
1
e
-t
dt-[*](e
-1
+1)=[*]e
-1
>0 F(0)=∫
-1
1
|t|[*]dt-[*](e
-1
+1)=2∫
0
1
t[*]dt-[*](e
-1
+1) =-e
-1
+1-[*](e
-1
+1)=[*]e
-1
<0 F(1)=∫
-1
1
[*]dt-∫
-1
1
t[*]dt-[*](e
-1
+1) =2∫
0
1
[*]dt-[*](e
-1
+1)>0 由连续函数零点定理可知,F(x)在区间(-1,0)与(0,1)内至少各有一个零点,再由单调性可知,在这两个区间内正好各有一个零点,共有且仅有两个零点。
解析
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考研数学二
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