已知三元二次型xTAx的平方项系数均为α，设α=(1，2，一1)T且满足Aα=2α．求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；

admin2014-02-06 56

问题已知三元二次型x^TAx的平方项系数均为α，设α=(1，2，一1)^T且满足Aα=2α．
求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；

选项

答案由[*]得矩阵A的特征值为2，2，一4．由(2E—A)X=0，[*]得λ=2的特征向量α₁=(1，1，0)^T，α₂=(1，0，1)^T；由(一4E—A)X=0，[*]得λ=一4的特征向量α₃=(一1，1，1)^T．将α₁，α₂正交化．令β₁=α₁，则β₂=α₂一[*]再对β₁，β₂，α₃单位化，有[*]那么令[*]有x^TAx=y^TAy=2y₁²+2y₂²一4y₃²

解析

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考研数学一

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设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．
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