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[2006年] 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和为3,向量α1=[一1,2,一1]T,α2=[0,一1,1]T都是齐次方程组AX=0的解. 求正交矩阵Q和对角矩阵Λ,使得QTAQ=Λ.
[2006年] 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和为3,向量α1=[一1,2,一1]T,α2=[0,一1,1]T都是齐次方程组AX=0的解. 求正交矩阵Q和对角矩阵Λ,使得QTAQ=Λ.
admin
2019-07-23
51
问题
[2006年] 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和为3,向量α
1
=[一1,2,一1]
T
,α
2
=[0,一1,1]
T
都是齐次方程组AX=0的解.
求正交矩阵Q和对角矩阵Λ,使得Q
T
AQ=Λ.
选项
答案
因0为A的二重特征值,现将属于多重特征值的特征向量α
1
,α
2
正交化(因α
1
,α
2
不正交),使用施密特正交化的方法得到 β
1
=α
1
,[*] 则β
1
,β
2
正交.显然α
0
与β
1
,β
2
都正交,因它们是实对称矩阵不同特征值的特征向量. 下面将α
0
,β
1
,β
2
单位化,得到 [*] 令Q=[η
0
,η
1
,η
2
],则Q为正交矩阵,且有Q
T
AQ=Q
-1
AQ=diag(3,0,0)=Λ.
解析
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0
考研数学一
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