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  3. 已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为 又P{X＝1}＝0．5，且X与Y不相关． (Ⅰ)求未知参数a，b，c； (Ⅱ)事件A＝{X＝1}与B＝{max(X，Y)＝1}是否独立，为什么? (Ⅲ)随机变量X＋Y与X－Y是否相关

已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为 又P{X＝1}＝0．5，且X与Y不相关． (Ⅰ)求未知参数a，b，c； (Ⅱ)事件A＝{X＝1}与B＝{max(X，Y)＝1}是否独立，为什么? (Ⅲ)随机变量X＋Y与X－Y是否相关

admin2021-11-15  3
问题 已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为

    又P{X＝1}＝0．5，且X与Y不相关．
    (Ⅰ)求未知参数a，b，c；
    (Ⅱ)事件A＝{X＝1}与B＝{max(X，Y)＝1}是否独立，为什么?
    (Ⅲ)随机变量X＋Y与X－Y是否相关，是否独立?
选项
答案(Ⅰ)由于P{X＝1}＝0．5，故P{X＝－1}＝0．5，a＝0．5－0．1－0．1＝0．3． 又X与Y不相关[*]E(XY)＝EX.EY，其中EX＝(－1)×0．5＋1×0．5＝0． XY可能取值为－1，0，1，且 P{XY＝－1}＝P{X＝－1，Y＝1}＋P{X＝1，Y＝－1}＝0．1＋b， P{XY＝1}＝P{X＝1，Y＝1}＋P{X＝－1，Y＝－1}＝0．1＋c， P{XY＝0}＝P{X＝－1，Y＝0}＋P{X＝1，Y＝0}＝a＋0．1， 所以E(XY)＝－0．1－b＋0．1＋C＝C－b，由E(XY)＝EXEY＝0[*]c－b＝0，b＝c， 又b＋0．1＋c＝0．5，所以b＝c＝0．2． (Ⅱ)由于A＝{X＝1}[*]B＝{max(X，Y)＝1}，P(AB)＝P(A)＝0．5，0＜P(B)＜1，又P(A)P(B)＝0．5P(B)＜0．5＝P(AB)，即P(AB)≠P(A)P(B)，所以A与B不独立． (Ⅲ)因为Cov(X＋Y，X－Y)＝Cov(X，X)－Cov(X，Y)＋Cov(Y，X)－Cov(Y，Y)＝DX－DY， DX＝EX2－(EX)2＝1，EY＝0，DY＝EY2－(EY)2＝0．6， 所以Cov(X＋Y，X－Y)＝1－0．6＝0．4≠0，X＋Y与X－Y相关[*]X＋Y与X－Y，不独立．
解析
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考研数学一

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