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求下列幂级数的和函数:
求下列幂级数的和函数:
admin
2017-05-10
52
问题
求下列幂级数的和函数:
选项
答案
(I)易知幂级数收敛域为(一1,1).记[*]则 [*] 对上式两边求导,得和函数 [*] (Ⅱ)由于[*],而 [*] 故只要消去系数中的因子n便可以使用e
x
的展开式求和. 幂级数的收敛域为(一∞,+∞).和函数 [*] 把g(x)的幂级数表达式作逐项积分,可得 [*] 所以 g(x)=(xe
x
)’=(1+x)e
x
, S(x)=xg(x)=(x+x
2
)e
x
(一∞<x<+∞). (Ⅲ)利用逐项求导两次去掉幂级数的通项[*]的分母n(2n+1),化为几何级数求和函数. 计算可得幂级数[*] 的收敛半径R=1,收敛域是[一1,1],设其和函数为S(x),则[*] 为便于利用逐项求导去掉幂级数通项的分母n(2n+1)化为几何级数求和,可引入幂级数[*]这个幂级数的收敛半径也是R=1,收敛域也是[一1,1],设其和函数为S
1
(x),则 [*] 且S
1
(0)=S
1
’(0)=0.在开区间(一1,1)内逐项求导两次可得 [*] 逐项积分就有 [*] 由于幂级数[*]在x=±1都收敛,且函数2x一2arctanx一xln(1+x
2
)在x=±1都连续,故和函数S
1
(x)=2x一2arctanx一x
2
ln(1+x)分别在x=一1与x=1处也成立.由此即得 [*] (Ⅳ)设S(x)表示[*]的和函数.由于 [*] 因此幂级数[*]的收敛半径R=1,且x∈(一1,1)时 [*] 设[*]它们的收敛半径都是1,因此两幂级数在(一1,1)内逐项求导,得 [*]
解析
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考研数学三
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