求下列幂级数的和函数：

admin2017-05-10 44

问题求下列幂级数的和函数：

选项

答案(I)易知幂级数收敛域为(一1，1)．记[*]则 [*] 对上式两边求导，得和函数 [*] (Ⅱ)由于[*]，而 [*] 故只要消去系数中的因子n便可以使用e^x的展开式求和．幂级数的收敛域为(一∞，+∞)．和函数 [*] 把g(x)的幂级数表达式作逐项积分，可得 [*] 所以 g(x)=(xe^x)’=(1+x)e^x， S(x)=xg(x)=(x+x²)e^x (一∞＜x＜+∞)． (Ⅲ)利用逐项求导两次去掉幂级数的通项[*]的分母n(2n+1)，化为几何级数求和函数．计算可得幂级数[*] 的收敛半径R=1，收敛域是[一1，1]，设其和函数为S(x)，则[*] 为便于利用逐项求导去掉幂级数通项的分母n(2n+1)化为几何级数求和，可引入幂级数[*]这个幂级数的收敛半径也是R=1，收敛域也是[一1，1]，设其和函数为S₁(x)，则 [*] 且S₁(0)=S₁’(0)=0．在开区间(一1，1)内逐项求导两次可得 [*] 逐项积分就有 [*] 由于幂级数[*]在x=±1都收敛，且函数2x一2arctanx一xln(1+x²)在x=±1都连续，故和函数S₁(x)=2x一2arctanx一x²ln(1+x)分别在x=一1与x=1处也成立．由此即得 [*] (Ⅳ)设S(x)表示[*]的和函数．由于 [*] 因此幂级数[*]的收敛半径R=1，且x∈(一1，1)时 [*] 设[*]它们的收敛半径都是1，因此两幂级数在(一1，1)内逐项求导，得 [*]

解析

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考研数学三

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