设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A—B，则下列命题中 ①AB～BA； ②A2～B2； ③A2～BT； ④A—1～B—1。正确的个数为（）

admin2017-12-29 56

问题设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A—B，则下列命题中
①AB～BA；
②A²～B²；
③A²～B^T；
④A^—1～B^—1。
正确的个数为（）

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析因A—B，可知存在可逆矩阵P，使得P^—1AP=B，于是
P^—1A²P=B²，P^TA^T（P^T）^—1=B^T，P^—1A^—1P=B^—1，
故 A²～B²，A^T～B^T，A^—1B^—1。
又由于A可逆，可知A^—1（AB）A=BA，即AB～BA。故正确的命题有四个，所以选D。

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