设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1),f”(x)>0,当x∈(0,1)时,下列结论正确的是( ) ①(1-x)[f(x)-f(0)]<x[f(1)-f(x)]. ②(1-x)[f(x)-f(0)]>x[f(1)-f(x)

admin2022-04-27  36

问题 设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1),f”(x)>0,当x∈(0,1)时,下列结论正确的是(          )
①(1-x)[f(x)-f(0)]<x[f(1)-f(x)].
②(1-x)[f(x)-f(0)]>x[f(1)-f(x)].
③x(f(x)-f(0)]<(1-x)[f(1)-f(x)].
④x(f(x)-f(0)]>(1-x)[f(1)-f(x)].

选项 A、①④.
B、②③.
C、②④.
D、①③.

答案D

解析 依题设,如图4-1所示,

①式可变形为

由拉格朗日中值定理,有
f’(ξ1)=,ξ1∈(0,x),
f’(ξ2)=,ξ2∈(0,x).
由f”(x)>0,知f’(x)单调增加,故f’(ξ1)<f’(ξ2).①正确.
③式可变形为
xf(x)-xf(0)<f(1)-f(x)-xf(1)+xf(x).
由f(0)=f(1),知③式可变形为f(x)<f(1).由①正确,知f(x)<f(0)=f(1).故③正确.选D.
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