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设函数f0(x)在(-∞,+∞)内连续,fn(x)=∫0xfn-1(t)dt(n=1,2,…). 证明:fn(x)=1/(n-1)!∫0xf0(t)(x-t)n-1dt(n=1,2,…);
设函数f0(x)在(-∞,+∞)内连续,fn(x)=∫0xfn-1(t)dt(n=1,2,…). 证明:fn(x)=1/(n-1)!∫0xf0(t)(x-t)n-1dt(n=1,2,…);
admin
2018-05-21
49
问题
设函数f
0
(x)在(-∞,+∞)内连续,f
n
(x)=∫
0
x
f
n-1
(t)dt(n=1,2,…).
证明:f
n
(x)=1/(n-1)!∫
0
x
f
0
(t)(x-t)
n-1
dt(n=1,2,…);
选项
答案
n=1时,f
1
(x)=∫
0
x
0
(t)dt,等式成立; 设n=k时,f
k
(x)=[*]∫
0
x
f
0
(t)(x-t)
k-1
dt, 则n=k+1时, f
k+1
(x)=∫
0
x
f
k
(t)dt=∫
0
x
dt∫
0
t
[*]f
0
(u)(t-u)
k-1
du =[*]∫
0
x
dy∫
u
x
f
0
(u)(t-u)
k-1
dt=1/k!∫
0
x
f
0
(u)*(x-u)
k
du 由归纳法得f
n
(x)=[*]∫
0
x
f
0
(t)(x-t)
n-1
dt(7n=1,2,…).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/fKr4777K
0
考研数学一
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