2. 考研
  3. 设f(z)在[0，1]上二阶可导，｜f’’(x)｜≤1(x∈[0，1])，f(0)＝f(1)．证明：对任意的x∈[0,1]，有｜f’(x)｜≤．

设f(z)在[0，1]上二阶可导，｜f’’(x)｜≤1(x∈[0，1])，f(0)＝f(1)．证明：对任意的x∈[0,1]，有｜f’(x)｜≤．

admin2019-06-06  48
问题 设f(z)在[0，1]上二阶可导，｜f’’(x)｜≤1(x∈[0，1])，f(0)＝f(1)．证明：对任意的x∈[0,1]，有｜f’(x)｜≤．
选项
答案对任意的x∈[0，1]，由泰勒公式得f(0)＝f(x)－f’(x)x＋[*]，其中ξ1介于0与x之间；f(1)＝f(x)＋f’(x)(1－x)＋[*]，其中ξ2介于x与1之间．两式相减得0＝f’(x)＋[*]，于是[*]由｜f’’(x)｜≤1(x∈[0，1])，得[*]令φ(x)＝(1－x)2+z2，令φ’(x)＝0，得x＝[*]因为φ(0)＝φ(1)＝1，[*]，所以φ(x)＝(1－x)2+x2在[0，1]上的最大值为1，故[*]
解析
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考研数学三

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