设f(z)在[0，1]上二阶可导，｜f’’(x)｜≤1(x∈[0，1])，f(0)＝f(1)．证明：对任意的x∈[0,1]，有｜f’(x)｜≤．

admin2019-06-06 53

问题设f(z)在[0，1]上二阶可导，｜f^’’(x)｜≤1(x∈[0，1])，f(0)＝f(1)．证明：对任意的x∈[0,1]，有｜f^’(x)｜≤

．

选项

答案对任意的x∈[0，1]，由泰勒公式得f(0)＝f(x)－f^’(x)x＋[*]，其中ξ₁介于0与x之间；f(1)＝f(x)＋f^’(x)(1－x)＋[*]，其中ξ₂介于x与1之间．两式相减得0＝f^’(x)＋[*]，于是[*]由｜f^’’(x)｜≤1(x∈[0，1])，得[*]令φ(x)＝(1－x)²+z²，令φ^’(x)＝0，得x＝[*]因为φ(0)＝φ(1)＝1，[*]，所以φ(x)＝(1－x)²+x²在[0，1]上的最大值为1，故[*]

解析

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考研数学三

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