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设f(x)在区间[0,+∞)上可导,f(0)=0,g(x)是f(x)的反函数,且 ∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex—ex+1. 求f(x),并要求证明:你得出来的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.
设f(x)在区间[0,+∞)上可导,f(0)=0,g(x)是f(x)的反函数,且 ∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex—ex+1. 求f(x),并要求证明:你得出来的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.
admin
2018-03-30
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问题
设f(x)在区间[0,+∞)上可导,f(0)=0,g(x)是f(x)的反函数,且
∫
0
f(x)
g(t)dt+∫
0
x
f(t)dt=xe
x
—e
x
+1.
求f(x),并要求证明:你得出来的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.
选项
答案
将 ∫
0
f(x)
g(t)dt+∫
0
x
f(t)dt=xe
x
—e
x
+1 两边对x求导,得 g[f(x)]f’(x)+f(x)=xe
x
. 由于g[f(x)]=x,上式成为 xf’(x)+f(x)=xe
x
. 当x>0时,上式可以写为 f’(x)+[*]f(x)=e
x
, 由一阶线性微分方程的通解公式,得通解 [*] 由f(x)在x=0处可导且f(0)=0,得 [*] 当且仅当C=1时上式成立,所以 [*] 下面证明上面得到的f(x)在区间[0,+∞)上的确存在反函数.由所得到的表达式f(x)在区间[0,+∞)上连续,所以只要证明f(x)在x∈(0,+∞)上单调即可.由 [*] 取其分子,记为 φ(x)=x
2
e
x
—xe
x
+e
x
一1, 有φ(0)=0,φ’(x)=(x
2
+x)e
x
>0,当x∈(0,+∞)时,φ(x)>φ(0)=0,f’(x)>0.所以,f(x)在区间[0,+∞)上存在反函数.证毕.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kwX4777K
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考研数学三
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