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考研
设矩阵A=,求f(A)=A10-6A9+5A8
设矩阵A=,求f(A)=A10-6A9+5A8
admin
2020-06-05
6
问题
设矩阵A=
,求f(A)=A
10
-6A
9
+5A
8
选项
答案
方法一 因为矩阵A的特征多项式为 |A-λE|=[*] =(1-λ)(1+λ)(λ-5) 所以矩阵A的特征值为λ
1
=﹣1,λ
2
=1,λ
3
=5. 当λ
1
=﹣1时,解方程(A+E)x=0.由 A+E=[*] 得基础解系为p
1
=(﹣1,﹣1,2)
T
. 当λ
2
=1时,解方程(A-E)x=0.由 A-E=[*] 得基础解系为p
2
=(﹣1,1,0)
T
. 当λ
3
=5时,解方程(A-E)x=0.由 A-5E=[*] 得基础解系为p
3
=(1,1,1)
T
. 令P=(p
1
,p
2
,p
3
),根据相似对角化的结论可知P
﹣1
AP=[*]=diag(﹣1,1,5),进而A=P[*]P
﹣1
,于是 f(A)=Pf([*])P
﹣1
=Pdiag(f(﹣1),f(1),f(5))P
﹣1
[*] 方法二 因为矩阵A的特征多项式为: |A-λE|=[*] =(1-λ)(1+λ)(λ-5) 所以A的特征值为λ
1
=﹣1,λ
2
=1,λ
3
=5.故存在正交矩阵Q=(q
1
,q
2
,q
3
),使得Q
T
AQ=[*]=diag(﹣1,1,5),从而A=[*],进而 f(A)= [*] =12q
1
q
1
T
因此,只需计算矩阵A的属于特征值λ
1
=﹣1的单位特征向量q
1
即可. 当λ
1
=﹣1时,解方程(A+E)x=0.由 A+E=[*] 得基础解系为p
1
=(﹣1,﹣1,2)
T
,即可得q
1
=[*].因此 f(A)=[*] 方法三 矩阵A的特征多项式φ(λ)=|A—AE|=-λ
3
+5λ+λ-5,而 f(A)=﹣φ(A)(A
7
-A
6
+A
5
-A
4
+A
3
-A
2
+A-E)+A
2
-6A+5E 根据特征多项式的性质φ(A)=0,于是 f(A)=A
2
-6A+5E=(A-5E)(A-E) [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/fNv4777K
0
考研数学一
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