2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值λ=11，λ2=2，λ3=一2，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (1)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量． (2)求矩阵B．

设3阶实对称矩阵A的特征值λ=11，λ2=2，λ3=一2，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (1)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量． (2)求矩阵B．

admin2020-09-25  48
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值λ=11，λ2=2，λ3=一2，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．
  (1)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量．
  (2)求矩阵B．
选项
答案(1)由Aα1=λ1α1，知Bα1=(A5一4A3+E)α1=(λ15一4λ13+1)α1=一2α1， 故α1是B的属于特征值一2的一个特征向量． 因为A的全部特征值为λ1，λ2，λ3，所以B的全部特征值为λi5一4λi3+1(i=1，2，3)，即B的全部特征值为一2，1，1． 由Bα1=一2α1，知B的属于特征值一2的全部特征向量为k1α1，其中k1是不为零的任意常数． 因为A是实对称矩阵，所以B也是实对称矩阵．设(x1，x2，x3)T为B的属于特征值1的任一特征向量．因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以(x1，x2，x3)α1=0，即x1一x2+x3=0． 解得该方程组的基础解系为α2=(1，1，0)T，α3=(一1，0，1)T，故B的属于特征值1的全部特征向量为k2α2+k3α3，其中k2，k3为不全为零的任意常数． (2)令P=(α1，α2，α3)=[*]，那么P-1=[*] 因为P-1BP=[*]
解析
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考研数学三

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