[2003年] 已知曲线y=x3－3ax2+b与x轴相切，则b2通过a表示为b2=__________．

admin2019-03-30 78

问题 [2003年] 已知曲线y=x³－3ax²+b与x轴相切，则b²通过a表示为b²=__________．

选项

答案4a⁶

解析设曲线y=x³－3a²x+b在x=x₀处与x轴相切，则

即得b²=x₀²(2a²)²=a²·4a²=4a⁶．
解二因x轴的斜率等于0，故曲线在切点的斜率也为0．
令y’(x)=3x²－3a²=3(x+a)·(x－a)=0得到x=a或x=－a，此为切点的横坐标．
因与x轴相切，切点的纵坐标必为零．于是有y(a)=0，或y(－a)=0，即a³－3a³+b=0，或－a³+3a³+b=0．故b=2a³或b=－2a³，从而b²=4a⁶．

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