求方程karctanx—x=0不同实根的个数，其中k为参数。

admin2017-12-29 31

问题求方程karctanx—x=0不同实根的个数，其中k为参数。

选项

答案令f（x）=k arctanx一x，则f（0）=0，且 [*] 当k＜1时，f’（x）＜0，f（x）在（一∞，+∞）单调递减，故此时f（x）的图象与x轴只有一个交点，也即方程k arctanx—x=0只有一个实根。当k=1时，在（一∞，0）和（0，+∞）上都有f’（x）＜0，所以f（x）在（一∞，0）和（0，+∞）上是严格单调递减的，又f（0）=0，故f（x）的图象在（一∞，0）和（0，+∞）与x轴均无交点。 [*] 综上所述，k≤1时，方程karctan x—x=0只有一个实根；k＞1时，方程karctanx—x=0有三个实根。

解析

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考研数学三

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