设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则必有（）

admin2019-04-09 31

问题设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，向量β₁可由α₁，α₂，α₃线性表示，向量β₂不能由α₁，α₂，α₃线性表示，则必有（）

选项 A、α₁，α₂，β₁线性无关
B、α₁，α₂，β₂线性无关
C、α₂，α₃，β₁，β₂线性相关
D、α₁，α₂，α₃，β₁+β₂线性相关

答案B

解析由α₁，α₂，α₃线性无关，且β₂不能由α₁，α₂，α₃线性表示知，α₁，α₂，α₃，β₂线性无关，从而部分组α₁，α₂，β₂线性无关，故B为正确答案。下面证明其他选项的不正确性。
取α₁=（1，0，0，0）^T，α₂=（0，1，0，0）^T，α₃=（0，0，1，0）^T，β₂=（0，0，0，1）^T，β₁=α₁，知选项A与C错误。
对于选项D，由于α₁，α₂，α₃线性无关，若α₁，α₂，α₃，β₁+β₂线性相关，则β₁+β₂可由α₁，α₂，α₃
线性表示，而β₁可由α₁，α₂，α₃线性表示，从而β₂可由α₁，α₂，α₃线性表示，与假设矛盾，从而D错误。

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考研数学三

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