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  3. 证明：方程｜x｜1／4＋｜x｜1／2－1／2cosx＝0在(－∞，＋∞)内仅有两个实根．

证明：方程｜x｜1／4＋｜x｜1／2－1／2cosx＝0在(－∞，＋∞)内仅有两个实根．

admin2021-11-09  53
问题 证明：方程｜x｜1／4＋｜x｜1／2－1／2cosx＝0在(－∞，＋∞)内仅有两个实根．
选项
答案证：由于｜x｜1／4＋｜x｜1／2－1／2cosx为偶函数，只要证明所给方程在(x，＋∞)仅有一个实根即可． 设F(x)＝x1／4＋x1／2－1／2cosx． 先证根的存在性． 因F(0)＝－1／2＜0，可知x＝0不是方程F(x)＝0的根，又因lim F(x)＝＋∞，故存在一点x。＞0，使得F(x。)＞0，例如，取x。＝1，便有F(1)＝1＋1－1／2＞0，于是，由零点定理，在区间(0，1)内F(x)＝0至少存在一个根． 注意到当x＞1时，F(x)恒大于0，故在区间(1，＋∞)内方程F(x)＝0不可能有根． 再证根的唯一性． 因为0＜x＜1＜π／2时，函数x1／4、x1／2，－cosx都是单调增加的，所以F(x)在(0，1)内单调增加，从而F(x)＝0在(0，1)内仅有一个实根． 综上，又因为｜x｜1／4＋｜x｜1／2－1／2cosx为偶函数，即所给方程在(－∞，＋∞)内仅有两个实根．
解析
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考研数学二

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