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证明:方程|x|1/4+|x|1/2-1/2cosx=0在(-∞,+∞)内仅有两个实根.
证明:方程|x|1/4+|x|1/2-1/2cosx=0在(-∞,+∞)内仅有两个实根.
admin
2021-11-09
27
问题
证明:方程|x|
1/4
+|x|
1/2
-1/2cosx=0在(-∞,+∞)内仅有两个实根.
选项
答案
证:由于|x|
1/4
+|x|
1/2
-1/2cosx为偶函数,只要证明所给方程在(x,+∞)仅有一个实根即可. 设F(x)=x
1/4
+x
1/2
-1/2cosx. 先证根的存在性. 因F(0)=-1/2<0,可知x=0不是方程F(x)=0的根,又因lim F(x)=+∞,故存在一点x。>0,使得F(x。)>0,例如,取x。=1,便有F(1)=1+1-1/2>0,于是,由零点定理,在区间(0,1)内F(x)=0至少存在一个根. 注意到当x>1时,F(x)恒大于0,故在区间(1,+∞)内方程F(x)=0不可能有根. 再证根的唯一性. 因为0<x<1<π/2时,函数x
1/4
、x
1/2
,-cosx都是单调增加的,所以F(x)在(0,1)内单调增加,从而F(x)=0在(0,1)内仅有一个实根. 综上,又因为|x|
1/4
+|x|
1/2
-1/2cosx为偶函数,即所给方程在(-∞,+∞)内仅有两个实根.
解析
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考研数学二
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