设A是三阶可逆矩阵，如果A－1的特征值为1，2，3，则｜A｜的代数余子式A11＋A22＋A33＝＿＿＿＿＿＿＿＿。

admin2019-07-24 36

问题设A是三阶可逆矩阵，如果A^－1的特征值为1，2，3，则｜A｜的代数余子式A₁₁＋A₂₂＋A₃₃＝＿＿＿＿＿＿＿＿。

选项

答案1

解析 [解题思路] A_ii(i＝1，2，3)为伴随矩阵A^*的主对角线上的元素，其和A₁₁＋A₂₂＋A₃₃恰等于A^*的迹，即tr(A^*)＝A₁₁＋A₂₂＋A₃₃。
但矩阵的迹又等于其特征值之和，于是归结求出A^*的特征值，其求法有两种方法。
解一由题设知，A的特征值为λ₁＝1，λ₂＝1／2，λ₃＝1／3，于是｜A｜＝λ₁λ₂λ₃＝1／6，则A^*的特征值分别为

则 A₁₁＋A₂₂＋A₃₃＝tr(A^*)＝λ₁^*＋λ₂^*＋λ₃^*＝1／6＋1／3＋1／2＝1。
解二由AA^*＝｜A｜E＝(1／6)E，即(6A)A^*＝E，得到
A^*＝(6A)^－1＝(1／6)A^－1。
由A^－1的特征值为1，2，3，得到A^*的三个特征值分别为
λ₁^*＝(1／6)·1＝1／6， λ₂^*＝(1／6)·2＝1／3， λ₃^*＝(1／6)·3＝1／2，
故 A₁₁＋A₂₂＋A₃₃＝tr(A^*)＝λ₁^*＋λ₂^*＋λ₃^*＝1／6＋1／3＋1／2＝1。

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考研数学一

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