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设A是三阶可逆矩阵，如果A－1的特征值为1，2，3，则｜A｜的代数余子式A11＋A22＋A33＝＿＿＿＿＿＿＿＿。
设A是三阶可逆矩阵，如果A－1的特征值为1，2，3，则｜A｜的代数余子式A11＋A22＋A33＝＿＿＿＿＿＿＿＿。
admin
2019-07-24
47
问题
设A是三阶可逆矩阵，如果A
－1
的特征值为1，2，3，则｜A｜的代数余子式A
11
＋A
22
＋A
33
＝＿＿＿＿＿＿＿＿。
选项
答案
1
解析
[解题思路] A
ii
(i＝1，2，3)为伴随矩阵A
*
的主对角线上的元素，其和A
11
＋A
22
＋A
33
恰等于A
*
的迹，即tr(A
*
)＝A
11
＋A
22
＋A
33
。
但矩阵的迹又等于其特征值之和，于是归结求出A
*
的特征值，其求法有两种方法。
解一 由题设知，A的特征值为λ
1
＝1，λ
2
＝1／2，λ
3
＝1／3，于是｜A｜＝λ
1
λ
2
λ
3
＝1／6，则A
*
的特征值分别为
则 A
11
＋A
22
＋A
33
＝tr(A
*
)＝λ
1
*
＋λ
2
*
＋λ
3
*
＝1／6＋1／3＋1／2＝1。
解二 由AA
*
＝｜A｜E＝(1／6)E，即(6A)A
*
＝E，得到
A
*
＝(6A)
－1
＝(1／6)A
－1
。
由A
－1
的特征值为1，2，3，得到A
*
的三个特征值分别为
λ
1
*
＝(1／6)·1＝1／6， λ
2
*
＝(1／6)·2＝1／3， λ
3
*
＝(1／6)·3＝1／2，
故 A
11
＋A
22
＋A
33
＝tr(A
*
)＝λ
1
*
＋λ
2
*
＋λ
3
*
＝1／6＋1／3＋1／2＝1。
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考研数学一
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