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  3. (2002年)设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )

(2002年)设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )

admin2018-03-11  42
问题 (2002年)设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则(    )
   
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案B
解析 方法一：排除法。
    取则f(x)在(0，+∞)有界且可导，且
   
但不存在，故A不成立；
    取f(x)=sinx，则f(x)在(0，+∞)内有界且可导，C和D不成立，故选B。
    方法二：证明B正确。
    证明A=0。
    用反证法，若A＞0，则由极限的保号性可知，存在X＞0，使当x＞X时，
    由此可知，f′(x)有界且大于。在区间[X，2X]上应用拉格朗日中值定理，有
    f(2X)=f(X)+f′(ξ)(2X—X)＞f(X)+X，
从而与题设f(x)有界矛盾。类似可证当A＜0时亦有矛盾。故A=0。
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考研数学一

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