设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，-2，相应的特征向量依次是α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，-α2)，则P-1AP=( )

admin2017-01-14 47

问题设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，-2，相应的特征向量依次是α₁，α₂，α₃，若P=(α₁，2α₃，-α₂)，则P^-1AP=( )

选项 A、
B、
C、
D、

答案A

解析由Aα₂=3α₂，有A(-α₂)=3(-α₂)，即当α₂是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，-α₂仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理，2α₃仍是矩阵A属于特征值λ=-2的特征向量。
当P^-1AP=A时，P由A的特征向量构成，A由A的特征值构成，且P与A的位置是对应一致的，已知矩阵A的特征值是1，3，-2，故对角矩阵A应当由1，3，-2构成，因此排除选项B、C。由于2α₃是属于λ=-2的特征向量，所以-2在对角矩阵A中应当是第二列，所以应选A。

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考研数学一

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