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(2013年)矩阵相似的充分必要条件为 【 】

admin2016-05-30  46
问题 (2013年)矩阵相似的充分必要条件为    【    】
选项 A、a＝0，b＝2．
B、a＝0，b为任意常数．
C、a＝2，b＝0．
D、a＝2，b为任意常数．
答案B
解析 B为对角矩阵，B的特征值为其主对角线元素2，6，0．若A与B相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知2为A的一个特征值，从而有

    由此得a＝0．当a＝0时，矩阵A的特征多项式为

    由此得A的全部特征值为2，6，0．以下可分两种情形：
    情形1：若b为任意实数，则A为实对称矩阵，由于实对称矩阵必相似于对角矩阵，且对角矩阵的主对角线元素为该实对称矩阵的全部特征值，所以此时A必相似于B．综上可知，A与B相似的充分必要条件为a＝0，b为任意常数．所以只有选项B正确．
    情形2：若b是任意复数而不是实数，则3阶矩阵A有3个互不相同的特征值，因此A必相似于对角矩阵B．只有选项B正确．
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考研数学二

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