由方程2y3-2y2+2xy+y-x2=0确定的函数y=y(x) ( )

admin2020-05-09  45

问题 由方程2y3-2y2+2xy+y-x2=0确定的函数y=y(x)    (    )

选项 A、没有驻点.
B、有驻点但不是极值点.
C、驻点为极小值点.
D、驻点为极大值点.

答案C

解析 将所给方程两边对x求导数,y看成由此式确定的x的函数,有
6y2y′-4yy′+2y+2xy′+y′-2x=0,
(6y2-4y+2x+1)y′+2(y-x)=0.
先考虑驻点,令y′=0,得y=x,再与原方程联立:

得    2x3-2x2+2x2+x-x2=0,即x(2x2-x+1)=0.
由于2x2-x+1=0无实根,故得唯一实根x=0,相应地有y=0.在此点有y′=0.不选(A).
再看此点是否为极值点,求二阶导数,由

以x=0,y=0,y′=0代入,得y″=2>0,所以该驻点为极小值点,选(C).
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