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设二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12﹢2x1x2－x22﹢4x2x3－x32－2ax3x41﹢(a－1)2x42的规范形为y12﹢y22－y32，则参数a＝______．
设二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12﹢2x1x2－x22﹢4x2x3－x32－2ax3x41﹢(a－1)2x42的规范形为y12﹢y22－y32，则参数a＝______．
admin
2018-12-21
53
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
，x
4
)＝x
1
2
﹢2x
1
x
2
－x
2
2
﹢4x
2
x
3
－x
3
2
－2ax
3
x
41
﹢(a－1)
2
x
4
2
的规范形为y
1
2
﹢y
2
2
－y
3
2
，则参数a＝______．
选项
答案
1／2
解析
法一 由二次型的规范形知，其正惯性指数为2，负惯性指数为1．利用配方法，有
f(x
1
，x
2
，x
3
，x
4
)＝x
1
2
﹢2x
1
x
3
－x
2
2
﹢4x
2
x
3
－x
3
2
－2ax
3
x
4
﹢(a－1)
2
x
4
2
＝(x
1
﹢x
2
)
2
－2x
2
2
﹢4x
2
x
3
－x
3
2
－2ax
3
x
4
﹢(a－1)
2
x
4
2
＝(x
1
﹢x
2
)
2
－2(x
2
－x
3
)
2
﹢x
3
2
－2ax
3
x
4
﹢(a－1)
2
x
4
2
＝(x
1
﹢x
2
)
2
－2(x
2
－x
3
)
2
﹢(x
3
－ax
4
)
2
－(2a－1)x
4
2
，
故由f的正惯性指数为2，负惯性指数为1，应有a＝1／2．
法二 f是四元二次型，由规范形知，其正惯性指数为2，负惯性指数为1，且有一项为零．故知其有特征值λ＝0，故该二次型的对应矩阵A有｜A｜＝0．因
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