2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12﹢2x1x2－x22﹢4x2x3－x32－2ax3x41﹢(a－1)2x42的规范形为y12﹢y22－y32，则参数a＝______．

设二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12﹢2x1x2－x22﹢4x2x3－x32－2ax3x41﹢(a－1)2x42的规范形为y12﹢y22－y32，则参数a＝______．

admin2018-12-21  58
问题 设二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12﹢2x1x2－x22﹢4x2x3－x32－2ax3x41﹢(a－1)2x42的规范形为y12﹢y22－y32，则参数a＝______．
选项
答案1／2
解析 法一      由二次型的规范形知，其正惯性指数为2，负惯性指数为1．利用配方法，有
f(x1，x2，x3，x4)＝x12﹢2x1x3－x22﹢4x2x3－x32－2ax3x4﹢(a－1)2x42
＝(x1﹢x2)2－2x22﹢4x2x3－x32－2ax3x4﹢(a－1)2x42
＝(x1﹢x2)2－2(x2－x3)2﹢x32－2ax3x4﹢(a－1)2x42
＝(x1﹢x2)2－2(x2－x3)2﹢(x3－ax4)2－(2a－1)x42，
故由f的正惯性指数为2，负惯性指数为1，应有a＝1／2．
法二     f是四元二次型，由规范形知，其正惯性指数为2，负惯性指数为1，且有一项为零．故知其有特征值λ＝0，故该二次型的对应矩阵A有｜A｜＝0．因
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考研数学二

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