2. 考研
  3. [2014年] 设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加， 0≤g(x)≤1．证明： 0≤∫axg(t)dt≤x一a，x∈[a，b]；

[2014年] 设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加， 0≤g(x)≤1．证明： 0≤∫axg(t)dt≤x一a，x∈[a，b]；

admin2019-04-17  50
问题 [2014年]  设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，
0≤g(x)≤1．证明：
0≤∫axg(t)dt≤x一a，x∈[a，b]；
选项
答案 可用积分的估值定理、中值定理、比较定理等法证(I)，可用函数的单调性证明(Ⅱ)成立． 证(I)证一 由定积分的估值定理证之． 因g(x)在[a，b]上连续，则在[a，b]上必可积，且 0≤g(x)≤1．由估值定理知，当x∈[a,b]时，必有(x－a)·0≤∫axg(t)dt≤(x一a)·1，即0≤∫axg(t)df≤(x一a)． 证二 由比较定理证之，因0≤g(x)≤1，则∫ax0dt≤∫axg(t)dt≤∫axdt，即0≤∫axg(t)dt≤(x一a)，x∈[a，b]． 证三 由积分中值定理证之．由该定理得到∫axg(t)dt=g(ξ)(x一a)，ξ∈[a，x]，因当x∈[a，b]时，有0≤g(x)≤1，故0≤g(ξ)≤1，从而 0=(x—a)·0≤∫axg(t)dt≤(x—a)·1=x一a．
解析
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考研数学二

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