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[2014年] 设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)单调增加, 0≤g(x)≤1.证明: 0≤∫axg(t)dt≤x一a,x∈[a,b];
[2014年] 设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)单调增加, 0≤g(x)≤1.证明: 0≤∫axg(t)dt≤x一a,x∈[a,b];
admin
2019-04-17
50
问题
[2014年] 设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)单调增加,
0≤g(x)≤1.证明:
0≤∫
a
x
g(t)dt≤x一a,x∈[a,b];
选项
答案
可用积分的估值定理、中值定理、比较定理等法证(I),可用函数的单调性证明(Ⅱ)成立. 证(I)证一 由定积分的估值定理证之. 因g(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上必可积,且 0≤g(x)≤1.由估值定理知,当x∈[a,b]时,必有(x-a)·0≤∫
a
x
g(t)dt≤(x一a)·1,即0≤∫
a
x
g(t)df≤(x一a). 证二 由比较定理证之,因0≤g(x)≤1,则∫
a
x
0dt≤∫
a
x
g(t)dt≤∫
a
x
dt,即0≤∫
a
x
g(t)dt≤(x一a),x∈[a,b]. 证三 由积分中值定理证之.由该定理得到∫
a
x
g(t)dt=g(ξ)(x一a),ξ∈[a,x],因当x∈[a,b]时,有0≤g(x)≤1,故0≤g(ξ)≤1,从而 0=(x—a)·0≤∫
a
x
g(t)dt≤(x—a)·1=x一a.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/gJV4777K
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考研数学二
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