[2014年] 设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)单调增加, 0≤g(x)≤1.证明: 0≤∫axg(t)dt≤x一a,x∈[a,b];

admin2019-04-17  38

问题 [2014年]  设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)单调增加,
0≤g(x)≤1.证明:
0≤∫axg(t)dt≤x一a,x∈[a,b];

选项

答案 可用积分的估值定理、中值定理、比较定理等法证(I),可用函数的单调性证明(Ⅱ)成立. 证(I)证一 由定积分的估值定理证之. 因g(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上必可积,且 0≤g(x)≤1.由估值定理知,当x∈[a,b]时,必有(x-a)·0≤∫axg(t)dt≤(x一a)·1,即0≤∫axg(t)df≤(x一a). 证二 由比较定理证之,因0≤g(x)≤1,则∫ax0dt≤∫axg(t)dt≤∫axdt,即0≤∫axg(t)dt≤(x一a),x∈[a,b]. 证三 由积分中值定理证之.由该定理得到∫axg(t)dt=g(ξ)(x一a),ξ∈[a,x],因当x∈[a,b]时,有0≤g(x)≤1,故0≤g(ξ)≤1,从而 0=(x—a)·0≤∫axg(t)dt≤(x—a)·1=x一a.

解析
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