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设X1，X2，…，Xn(n＞2)为来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，其样本均值为．记Yi＝Xi－，i＝1，2，…，n． 求：(Ⅰ)求Yi的方差DYi，i＝1，2，…，n； (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1，Yn)； (Ⅲ)
设X1，X2，…，Xn(n＞2)为来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，其样本均值为．记Yi＝Xi－，i＝1，2，…，n． 求：(Ⅰ)求Yi的方差DYi，i＝1，2，…，n； (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1，Yn)； (Ⅲ)
admin
2019-07-16
83
问题
设X
1
，X
2
，…，X
n
(n＞2)为来自总体N(0，σ
2
)的简单随机样本，其样本均值为
．记Y
i
＝X
i
－
，i＝1，2，…，n．
求：(Ⅰ)求Y
i
的方差DY
i
，i＝1，2，…，n；
(Ⅱ)求Y
1
与Y
n
的协方差Cov(Y
1
，Y
n
)；
(Ⅲ)若c(Y
1
＋Y
n
)
2
是σ
2
的无偏估计量，求常数c．
选项
答案
[*] (Ⅱ)Cov(Y
1
，Y
n
)＝Cov(X
1
－[*]一，X
n
－[*])＝Cov(X
1
，X
n
)－Cov(X
1
，[*])－Cov([*]，X
n
)＋D([*]) [*] (Ⅲ)由题意，E[c(Y
1
＋Y
n
)
2
]＝σ
2
． 而E[c(Y
1
＋Y
n
)
2
]＝c[E(Y
1
)
2
＋E(Y
n
)
2
＋2E(Y
1
Y
n
)] 而E(Y
1
)＝E(X
1
－[*])＝E(X
1
)－E([*])＝0－0－0， ∴E(Y
1
)
2
＝DY
1
＋E(Y
1
)
2
＝DY
1
＝[*]σ
2
． 同理E(Y
n
)
2
＝[*]σ
2
． 又E(Y
1
Y
n
)＝Cov(Y
1
，Y
n
)＋E(Y
1
)E(Y
n
)＝Coy(Y
1
，Y
n
)＝[*]σ
2
故得σ
2
＝E[c(Y
1
＋Y
n
)
2
]＝[*]， ∴c＝[*]．
解析
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考研数学三
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