2. 考研
  3. 设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn＋1＝f(xn)(n＝0，1，2，…)，证明：xn存在且满足方程f(x)＝x．

设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn＋1＝f(xn)(n＝0，1，2，…)，证明：xn存在且满足方程f(x)＝x．

admin2018-01-23  59
问题 设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn＋1＝f(xn)(n＝0，1，2，…)，证明：xn存在且满足方程f(x)＝x．
选项
答案xn＋1－xn＝f(xn)－f(xn－1)＝f’(ξn)(xn～xn－1)，因为f’(x)≥0，所以xn＋1－xn 与xn－xn－1同号，故{xn}单调． ｜xn｜＝｜f(xn－1)｜＝｜f(xn)＋∫xnxn－1f’(x)dx｜ ≤｜f(xn)｜＋｜∫xnxn－1f’(x)dx｜≤｜f(xn)｜＋∫－∞＋∞[*]dx＝｜f(xn)｜＋πk， 即{xn}有界，于是[*]xn存在， 根据f(x)的可导性得f(x)处处连续，等式xn＋1＝f(xn)两边令n→∞，得 [*]，原命题得证．
解析
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考研数学三

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