设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k>0),对任意的xn,作xn+1=f(xn)(n=0,1,2,…),证明:xn存在且满足方程f(x)=x.

admin2018-01-23  40

问题 设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k>0),对任意的xn,作xn+1=f(xn)(n=0,1,2,…),证明:xn存在且满足方程f(x)=x.

选项

答案xn+1-xn=f(xn)-f(xn-1)=f’(ξn)(xn~xn-1),因为f’(x)≥0,所以xn+1-xn 与xn-xn-1同号,故{xn}单调. |xn|=|f(xn-1)|=|f(xn)+∫xnxn-1f’(x)dx| ≤|f(xn)|+|∫xnxn-1f’(x)dx|≤|f(xn)|+∫-∞+∞[*]dx=|f(xn)|+πk, 即{xn}有界,于是[*]xn存在, 根据f(x)的可导性得f(x)处处连续,等式xn+1=f(xn)两边令n→∞,得 [*],原命题得证.

解析
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