设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f()＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＝f(ξ)．

admin2017-12-31 36

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f(

)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＝f(ξ)．

选项

答案不妨设f(a)＞0，f(b)＞0，f[*]＜0，令φ(x)＝e^－xf(x)，则 φ’(x)＝e^－x[f’(x)－f(x)]．因为φ(a)＞0，φ[*]＜0，φ(b)＞0，所以存在[*]，使得φ(ξ₁)＝φ(ξ₂)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ₁，ξ₂)[*](a，b)，使得φ’(ξ)＝0，即e^－ξ[f’(ξ)－f(ξ)]＝0，因为e^－ξ≠0，所以f’(ξ)＝f(ξ)．

解析

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考研数学三

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