2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f()＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＝f(ξ)．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f()＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＝f(ξ)．

admin2017-12-31  49
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f()＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＝f(ξ)．
选项
答案不妨设f(a)＞0，f(b)＞0，f[*]＜0，令φ(x)＝e－xf(x)，则 φ’(x)＝e－x[f’(x)－f(x)]． 因为φ(a)＞0，φ[*]＜0，φ(b)＞0，所以存在[*]， 使得φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得φ’(ξ)＝0， 即e－ξ[f’(ξ)－f(ξ)]＝0，因为e－ξ≠0，所以f’(ξ)＝f(ξ)．
解析
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考研数学三

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