在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1)。 (Ⅰ)求关系式中的矩阵A； (Ⅱ)设目前农村人口与城镇

admin2018-01-26 43

问题在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x_n和y_n(x_n+y_n=1)。
(Ⅰ)求关系式

中的矩阵A；
(Ⅱ)设目前农村人口与城镇人口相等，即

选项

答案(Ⅰ)由题意，人口迁移的规律不变，所以 x_n+1=x_n+qy_n-px_n=(1-p)x_n+qy_n， y_n+1=y_n+px_n-qy_n=px_n+(1-q)y_n，用矩阵表示为 [*] 因此A=[*] (Ⅱ)由[*]由 [*] =(λ-1)(λ-1+p+q)，得A的特征值为λ=1，λ=r，其中r=1-p-q。当λ₁=1时，解方程(A-E)x=0，得特征向量 p₁=[*] 当λ₂=r时，解方程(A-rE)x=0，得特征向量 p₂=[*] 令P=(p₁，p₂)=[*]，则 P^-1AP=[*]=A，A=PAP^-1，Aⁿ=PAⁿP^-1，于是 [*]

解析

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考研数学一

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考研数学一

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