下列区域D上,是否与路径无关?是否存在原函数?若存在,求出原函数. (Ⅰ)D:χ2+y2>0; (Ⅱ)D:y>0; (Ⅲ)D:χ<0; (Ⅳ)D:平面除去射线:y=0,-∞<χ≤0.(若存在原函数,不要求求原函数.)

admin2018-06-12  40

问题 下列区域D上,是否与路径无关?是否存在原函数?若存在,求出原函数.
    (Ⅰ)D:χ2+y2>0;
    (Ⅱ)D:y>0;
    (Ⅲ)D:χ<0;
    (Ⅳ)D:平面除去射线:y=0,-∞<χ≤0.(若存在原函数,不要求求原函数.)

选项

答案首先明确[*]与路径无关等价于[*]存在原函数. 记[*],易验证: [*] (Ⅰ)D:χ2+y2>0不是单连通的,则[*]((χ,y)∈D)不是∫L,Pdχ+Qdy在D与路径无关的充分条件. 事实上,若取闭曲线C:χ2+y2=r2,逆时针方向,则 ∮CPdχ+Qdy=[*]=2π. 因此,[*]在D上不是与路径无关,[*]在D上不存在原函数. (Ⅱ)D:y>0是单连通的,在D上[*]∫LPdχ+QdyD上与路径无关,存在原函数. [*] 则原函数u=-arctan[*]+C,其中C为[*]常数. (Ⅲ)同理,[*]在D:χ<0上与路径无关,[*]存在原函数,可求得原函数为u=arctan[*]+C. (Ⅳ)区域D如图27一1所示,D是单连通区域,在D上 [*] [*]∫LPdχ+Qdy在D上与路径无关,Pdχ+Qdy[*]原函数.

解析
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