下列区域D上，是否与路径无关?是否存在原函数?若存在，求出原函数． (Ⅰ)D：χ2＋y2＞0； (Ⅱ)D：y＞0； (Ⅲ)D：χ＜0； (Ⅳ)D：平面除去射线：y＝0，－∞＜χ≤0．(若存在原函数，不要求求原函数．)

admin2018-06-12 92

问题下列区域D上，

是否与路径无关?

是否存在原函数?若存在，求出原函数．
(Ⅰ)D：χ²＋y²＞0；
(Ⅱ)D：y＞0；
(Ⅲ)D：χ＜0；
(Ⅳ)D：平面除去射线：y＝0，－∞＜χ≤0．(若存在原函数，不要求求原函数．)

选项

答案首先明确[*]与路径无关等价于[*]存在原函数．记[*]，易验证： [*] (Ⅰ)D：χ²＋y²＞0不是单连通的，则[*]((χ，y)∈D)不是∫_L，Pdχ＋Qdy在D与路径无关的充分条件．事实上，若取闭曲线C：χ²＋y²＝r²，逆时针方向，则 ∮_CPdχ＋Qdy＝[*]＝2π．因此，[*]在D上不是与路径无关，[*]在D上不存在原函数． (Ⅱ)D：y＞0是单连通的，在D上[*]∫_LPdχ＋QdyD上与路径无关，存在原函数． [*] 则原函数u＝－arctan[*]＋C，其中C为[*]常数． (Ⅲ)同理，[*]在D：χ＜0上与路径无关，[*]存在原函数，可求得原函数为u＝arctan[*]＋C． (Ⅳ)区域D如图27一1所示，D是单连通区域，在D上 [*] [*]∫_LPdχ＋Qdy在D上与路径无关，Pdχ＋Qdy[*]原函数．

解析

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考研数学一

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下列区域D上，是否与路径无关?是否存在原函数?若存在，求出原函数． (Ⅰ)D：χ2＋y2＞0； (Ⅱ)D：y＞0； (Ⅲ)D：χ＜0； (Ⅳ)D：平面除去射线：y＝0，－∞＜χ≤0．(若存在原函数，不要求求原函数．)

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