设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证: 存在η∈(1/2,1),使f(η)=η;

admin2013-03-19  36

问题 设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证:
存在η∈(1/2,1),使f(η)=η;

选项

答案令φ(x)=f(x)-x,则φ(x)在[0,1]上连续.又φ(1)=-1<0, φ(1/2)=1/2>0.由介值定理可知,存在η∈(1/2,1),使得φ(η)=f(η)-η=0,即f(η)=η.

解析
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