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设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-1,且α1=(1,a+1,2)T,α2=(a-1,-a,1)T分别是λ1,λ2对应的特征向量.又A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0,属于λ0的特征向量为α0=(2,-5a,2a+1)T.试求a、λ0的值
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-1,且α1=(1,a+1,2)T,α2=(a-1,-a,1)T分别是λ1,λ2对应的特征向量.又A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0,属于λ0的特征向量为α0=(2,-5a,2a+1)T.试求a、λ0的值
admin
2021-02-25
32
问题
设3阶实对称矩阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=-1,且α
1
=(1,a+1,2)
T
,α
2
=(a-1,-a,1)
T
分别是λ
1
,λ
2
对应的特征向量.又A的伴随矩阵A
*
有一个特征值为λ
0
,属于λ
0
的特征向量为α
0
=(2,-5a,2a+1)
T
.试求a、λ
0
的值,并求矩阵A.
选项
答案
由于|A|=λ
1
λ
2
λ
3
=-2,故A可逆. 由于α
0
是A
*
的属于λ
0
的特征向量.所以A
*
α
0
=λ
0
α
0
.于是AA
*
α
0
=λ
0
Aα
0
,即|A|α
0
=λ
0
Aα
0
,亦即-2α
0
=λ
0
Aα
0
.故[*].从而-2/λ
0
是A的特征值,α
0
是A的关于-2/λ
0
对应的特征向量. 又由于α
1
,α
2
为实对称矩阵A的不同特征值的特征向量,故α
1
,α
2
正交,即α
T
1
α
2
=0,得a=±1. 无论a=1还是a=-1,则有α
0
与α
1
,α
2
中任何一个都线性无关,所以α
0
应是矩阵A的属于λ
3
的特征向量, 于是有λ
3
=-2/λ
0
从而λ
0
=2.且α
0
与α
1
正交,即α
T
0
α
1
=5
2
+a-4=0,则a=4/5或a=-1,于是a=-1,λ
0
=2. 令[*],则P可逆,且 [*] 所以 [*]
解析
本题考查实对称矩阵相似对角矩阵的逆问题.运用实对称矩阵不同的特征值所对应的特征向量必正交的性质来确定a与λ
0
.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/gZ84777K
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考研数学二
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