已知A是三阶矩阵,αi(i=t,2,3)是三维非零列向量,令α=α1+α2+α3。若Aα=iai(i=1,2,3),证明:α,Aα,A2α线性无关。

admin2020-03-10  59

问题 已知A是三阶矩阵,αi(i=t,2,3)是三维非零列向量,令α=α123。若Aα=iai(i=1,2,3),证明:α,Aα,A2α线性无关。

选项

答案由Aαi=iαi(i=1,2,3),且αi(i=1,2,3)非零可知,α1,α2,α3是矩阵A的属于不同特征值的特征向量,故α1,α2,α3线性无关。又 Aα=α1+2α2+3α3,A2α=α1+4α2+9α3, 所以 (α,Aα,A2α)=(α1,α2,α3)[*]=(α1,α2,α3)P, 而矩阵P是范德蒙德行列式,故|P|=2≠0,所以α,Aα,A2α线性无关。

解析
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