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设n维向量组α1,α2,α3,α4满足3α1+2α2+α3-2α4=0,若对任意的n维向量β,向量组l1β+α1,l2β+α2,l3β+α3,l4β+α4都是线性相关的,则l1,l2,l3,l4应满足的关系为__________。
设n维向量组α1,α2,α3,α4满足3α1+2α2+α3-2α4=0,若对任意的n维向量β,向量组l1β+α1,l2β+α2,l3β+α3,l4β+α4都是线性相关的,则l1,l2,l3,l4应满足的关系为__________。
admin
2019-01-25
58
问题
设n维向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
满足3α
1
+2α
2
+α
3
-2α
4
=0,若对任意的n维向量β,向量组l
1
β+α
1
,l
2
β+α
2
,l
3
β+α
3
,l
4
β+α
4
都是线性相关的,则l
1
,l
2
,l
3
,l
4
应满足的关系为__________。
选项
答案
3l
1
+2l
2
+l
3
-2l
4
=0
解析
本题考查向量组的线性相关性。写出向量组线性相关的定义表达式,根据已知条件,如果对任意的n维向量β,向量组l
1
β+α
1
,l
2
β+α
2
,l
3
+α
3
,l
4
β+α
4
都是线性相关的,则β前面的系数为0。
向量组l
1
β+α
1
,l
2
β+α
2
,l
3
β+α
3
,l
4
β+α
4
线性相关,则存在不全为零的数k
1
,k
2
,k
3
,k
4
,使得
k
1
(l
1
β+α
1
)+k
2
(l
2
β+α
2
)+k
3
(l
3
β+α
3
)+k
4
(l
4
β+α
4
)=0,
即 (k
1
l
1
+k
2
l
2
+k
3
l
3
+k
4
l
4
)β+k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
α
4
=0,
已知α
1
,α
2
,α
3
,α
4
满足3α
1
+2α
2
+α
3
-2α
4
=O,因此当3l
1
+2l
2
+l
3
-2l
4
=0时,对任意的β,向量组l
1
β+α
1
,l
2
β+α
2
,l
3
β+α
3
,l
4
β+α
4
都是线性相关的,故l
1
,l
2
,l
3
,l
4
应满足的关系为3l
1
+2l
2
+l
3
-2l
4
=0。
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0
考研数学三
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