2. 考研
  3. 设n维向量组α1，α2，α3，α4满足3α1＋2α2＋α3－2α4＝0，若对任意的n维向量β，向量组l1β＋α1，l2β＋α2，l3β＋α3，l4β＋α4都是线性相关的，则l1，l2，l3，l4应满足的关系为__________。

设n维向量组α1，α2，α3，α4满足3α1＋2α2＋α3－2α4＝0，若对任意的n维向量β，向量组l1β＋α1，l2β＋α2，l3β＋α3，l4β＋α4都是线性相关的，则l1，l2，l3，l4应满足的关系为__________。

admin2019-01-25  56
问题 设n维向量组α1，α2，α3，α4满足3α1＋2α2＋α3－2α4＝0，若对任意的n维向量β，向量组l1β＋α1，l2β＋α2，l3β＋α3，l4β＋α4都是线性相关的，则l1，l2，l3，l4应满足的关系为__________。
选项
答案3l1＋2l2＋l3－2l4＝0
解析 本题考查向量组的线性相关性。写出向量组线性相关的定义表达式，根据已知条件，如果对任意的n维向量β，向量组l1β＋α1，l2β＋α2，l3＋α3，l4β＋α4都是线性相关的，则β前面的系数为0。
向量组l1β＋α1，l2β＋α2，l3β＋α3，l4β＋α4线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，k3，k4，使得
    k1(l1β＋α1)＋k2(l2β＋α2)＋k3(l3β＋α3)＋k4(l4β＋α4)＝0，
即    (k1l1＋k2l2＋k3l3＋k4l4)β＋k1α1＋k2α2＋k3α3＋k4α4＝0，
已知α1，α2，α3，α4满足3α1＋2α2＋α3－2α4＝O，因此当3l1＋2l2＋l3－2l4＝0时，对任意的β，向量组l1β＋α1，l2β＋α2，l3β＋α3，l4β＋α4都是线性相关的，故l1，l2，l3，l4应满足的关系为3l1＋2l2＋l3－2l4＝0。
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考研数学三

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