设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax3x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换；

admin2014-02-06 39

问题设二次型x^TAx=x₁²+4x₂²+x₃²+2ax₃x₂+2bx₁x₃+2cx₂x₃，矩阵A满足AB=0，其中

用正交变换化二次型x^TAx为标准形，并写出所用正交变换；

选项

答案由[*]知，矩阵B的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量．记[*]则Aα₁=0=0α₁，Aα₂=0=0α₂．由此可知λ=0是矩阵A的特征值(至少是二重)，α₁,α₂是λ=0的线性无关的特征向量．根据∑λ_i∑a_ii,有0+0+λα₃,α₂=1+4+1，故知矩阵λ有特征值λ=6．因此，矩阵A的特征值是0，0，6．设λ=6的特征向量为αα₃,α₂=(xα₁,α₂，xα₂,α₂，xα₃,α₂)^T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有[*]解出α₃=(1，2，一1)^T．对α₁,α₂正交化，令β₁=(1，0，1)^T，则β₂=α₂-[*]=(2，一1，0)T一[*](1，(1，1)^T=(1，一1，一1)^T．再对β₁，β₂，α₃单位化，得[*]那么经坐标变换x=Qy，即[*]二次型化为标准形x^TAx=y^TAy=6y₃．

解析

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考研数学一

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设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax3x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换；

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设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+33．求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．

设A，B均为n阶方阵，A有n个互异特征值，且AB=BA．证明：B能相似于对角矩阵．

设A为2阶矩阵，α为非零向量，但不是A的特征向量，且满足A2α+Aα-2α=0，试证α，Aα线性无关；

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-1，且α1=(1，a+1，2)T，α2=(a-1，-a，1)T分别是λ1，λ2对应的特征向量．又A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0，属于λ0的特征向量为α0=(2，-5a，2a+1)T．试求a、λ0的值

已知3阶实对称矩阵A满足trA=-6，AB=C，其中求k的值与矩阵A．

求下列微分方程满足初始条件的特解：

计算下列反常积分：

设＝1(x＞0，y＞0)，P(x，y)∈L，过点P作L的切线，求切线与两坐标轴所围成区域面积的最小值．

设a1＞1，又an＋1＝1+1na．(Ⅰ)证明：方程x＝1＋1nx有唯一解，并求其解；(Ⅱ)存在，并求此极限．

设曲线段L：y＝4－x2(0≤x≤2)，P(x，y)为曲线段L上一点，过点P作切线，求该切线与两坐标轴形成的三角形面积的最小值．

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某案的两名凶手在以下五人中，经过公安部门的侦查后得知：①只有甲是凶手，乙才是凶手②只要丁不是凶手，丙就不是凶手③或乙是凶手，或丙是凶手④丁没有戊为帮凶，就不会作案⑤戊没有作案时间这件案件中的凶手是：

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