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设矩阵是矩阵A*的一个特征向量,λ是α对应的特征值,其中A*是矩阵A的伴随矩阵.试求a,b和λ的值.
设矩阵是矩阵A*的一个特征向量,λ是α对应的特征值,其中A*是矩阵A的伴随矩阵.试求a,b和λ的值.
admin
2021-02-25
65
问题
设矩阵
是矩阵A
*
的一个特征向量,λ是α对应的特征值,其中A
*
是矩阵A的伴随矩阵.试求a,b和λ的值.
选项
答案
由于矩阵A可逆,故A
*
可逆.于是λ≠0,|A|≠0.在等式 A
*
α=λα 两边同时左乘矩阵A.得 [*] 即 [*] 由此,得方程组 [*] 由式(1),(2)解得b=1或b=-2;由式(1),(3)解得a=2. 由于 [*] 根据(1)式知,特征向量α所对应的特征值 [*] 所以,当b=1时,λ=1;当b=-2时,λ=4.
解析
本题考查了矩阵的特征值和特征向量的概念和性质,也综合考查了伴随矩阵的概念和性质.实际上由A
*
α=λα两边左乘A就可得
,从而得到含有a,b和λ的方程组,从而求得a,b和λ的值.
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考研数学二
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