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[2011年] 设A为三阶实对称矩阵,A的秩为2,且 求A的所有特征值与特征向量;
[2011年] 设A为三阶实对称矩阵,A的秩为2,且 求A的所有特征值与特征向量;
admin
2021-01-19
68
问题
[2011年] 设A为三阶实对称矩阵,A的秩为2,且
求A的所有特征值与特征向量;
选项
答案
利用题设条件先求出A的部分特征值及其特征向量.再利用命题2.5.4.1(2)求出全部特征值,用正交性求出其余特征向量,最后用正交对角化反求A. 因A的秩为2,A又为实对称矩阵,故A可相似对角化,且其非零特征值,即其相似对角矩阵上的非零主对角元只有两个.因而0为A的一个特征值,由题设可得 A[1,0,一1]=一[1,0,一1], A[1,0,1]=[1,0,1]. 故λ
1
=一l是A的一个特征值,且属于λ
1
=一l的特征向量为 K
2
α
2
=K
1
[1,0,一1]
T
, 其中K
1
为任意非零常数. 又λ
2
=l也是A的一个特征值,且属于λ
2
=1的所有特征向量为 K
2
α
2
=K
2
[1,0,1]
T
, 其中K
2
为任意非零常数. 设[x
1
,x
2
,x
3
]
T
为A的属于特征值0的特征向量.由于A为实对称矩阵,则 [*] 由[*]知,属于0的特征向量为K
3
α=k
3
[0,1,0]
T
, 其中K
3
为任意非零常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/gu84777K
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考研数学二
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