[2011年] 设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且求A的所有特征值与特征向量；

admin2021-01-19 92

问题 [2011年] 设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且

求A的所有特征值与特征向量；

选项

答案利用题设条件先求出A的部分特征值及其特征向量．再利用命题2．5．4．1(2)求出全部特征值，用正交性求出其余特征向量，最后用正交对角化反求A．因A的秩为2，A又为实对称矩阵，故A可相似对角化，且其非零特征值，即其相似对角矩阵上的非零主对角元只有两个．因而0为A的一个特征值，由题设可得 A[1，0，一1]=一[1，0，一1]， A[1，0，1]=[1，0，1]．故λ₁=一l是A的一个特征值，且属于λ₁=一l的特征向量为 K₂α₂=K₁[1，0，一1]^T，其中K₁为任意非零常数．又λ₂=l也是A的一个特征值，且属于λ₂=1的所有特征向量为 K₂α₂=K₂[1，0，1]^T，其中K₂为任意非零常数．设[x₁，x₂，x₃]^T为A的属于特征值0的特征向量．由于A为实对称矩阵，则 [*] 由[*]知，属于0的特征向量为K₃α=k₃[0，1，0]^T，其中K₃为任意非零常数．

解析

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考研数学二

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