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设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=﹣2,p1=(1,﹣1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量,记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵.(1)验证p1是矩阵B的特征向量,并求全部特征值与特征向量;(2)求矩阵B.
设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=﹣2,p1=(1,﹣1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量,记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵.(1)验证p1是矩阵B的特征向量,并求全部特征值与特征向量;(2)求矩阵B.
admin
2020-06-05
44
问题
设3阶对称矩阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=﹣2,p
1
=(1,﹣1,1)
T
是A的属于λ
1
的一个特征向量,记B=A
5
-4A
3
+E,其中E为3阶单位矩阵.(1)验证p
1
是矩阵B的特征向量,并求全部特征值与特征向量;(2)求矩阵B.
选项
答案
(1)根据矩阵特征值与特征向量的定义和性质,可知若Ap=λp(p≠0),则A
n
p=λ
n
p.进而有 Bp=(A
5
-4A
3
+E)p=(A
5
p-4A
3
p+p)=(λ
5
-4λ
3
+1)p 这表明如果p是矩阵A的属于特征值λ的特征向量,那么p也是矩阵B属于特征值μ=λ
5
-4λ
3
+1的特征向量.于是c
1
p
1
(c
1
≠0)是矩阵B的属于特征值μ
1
=λ
1
5
-4λ
1
3
+1=﹣2的特征向量.而且可知μ
2
=λ
2
5
-4λ
2
3
+1=1,μ
3
=λ
3
5
-4λ
3
3
+1=1也是矩阵B的特征值,不妨设矩阵B属于特征值μ
2
=μ
3
=1的特征向量为p=(x
1
,x
2
,x
3
).注意到A为实对称矩阵,那么B=A
5
-4A
3
+E也是实对称矩阵.于是根据实对称矩阵特征向量的性质,即不同特征值所对应的特征向量正交.所以 p
T
p
1
=x
1
-x
2
+x
3
=0其基础解系为p
2
=(1,1,0)
T
,p
3
=(0,1,1)
T
,矩阵B的属于特征值μ
2
=μ
3
=1的特征向量为c
2
p
2
+c
3
p
3
(c
2
,c
3
不全为零). (2)由Bp
1
=﹣2p
1
,Bp
2
=p
2
,Bp
3
=p
3
,有B(p
1
,p
2
,p
3
)=(﹣2p
1
,p
2
,p
3
),从而 [*]
解析
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0
考研数学一
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