2. 考研
  3. 设3阶对称矩阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝﹣2，p1＝(1，﹣1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵．(1)验证p1是矩阵B的特征向量，并求全部特征值与特征向量；(2)求矩阵B．

设3阶对称矩阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝﹣2，p1＝(1，﹣1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵．(1)验证p1是矩阵B的特征向量，并求全部特征值与特征向量；(2)求矩阵B．

admin2020-06-05  45
问题 设3阶对称矩阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝﹣2，p1＝(1，﹣1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵．(1)验证p1是矩阵B的特征向量，并求全部特征值与特征向量；(2)求矩阵B．
选项
答案(1)根据矩阵特征值与特征向量的定义和性质，可知若Ap＝λp(p≠0)，则Anp＝λnp．进而有 Bp＝(A5－4A3＋E)p＝(A5p－4A3p＋p)＝(λ5－4λ3＋1)p 这表明如果p是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么p也是矩阵B属于特征值μ＝λ5－4λ3＋1的特征向量．于是c1p1(c1≠0)是矩阵B的属于特征值μ1＝λ15－4λ13＋1＝﹣2的特征向量．而且可知μ2＝λ25－4λ23＋1＝1，μ3＝λ35－4λ33＋1＝1也是矩阵B的特征值，不妨设矩阵B属于特征值μ2＝μ3＝1的特征向量为p＝(x1，x2，x3)．注意到A为实对称矩阵，那么B＝A5－4A3＋E也是实对称矩阵．于是根据实对称矩阵特征向量的性质，即不同特征值所对应的特征向量正交．所以 pTp1＝x1－x2＋x3＝0其基础解系为p2＝(1，1，0)T，p3＝(0，1，1)T，矩阵B的属于特征值μ2＝μ3＝1的特征向量为c2p2＋c3p3(c2，c3不全为零)． (2)由Bp1＝﹣2p1，Bp2＝p2，Bp3＝p3，有B(p1，p2，p3)＝(﹣2p1，p2，p3)，从而 [*]
解析
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考研数学一

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