设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵,现有4个命题: ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)≥秩(B); ②若秩(A)≥秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解; ③若Ax=0与Bx=0同解,则秩(A

admin2021-01-15  21

问题 设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵,现有4个命题:
    ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)≥秩(B);
    ②若秩(A)≥秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解;
    ③若Ax=0与Bx=0同解,则秩(A)=秩(B);
    ④若秩(A)=秩(B),则Ax=0与Bx=0同解。
    以上命题中正确的是(    )

选项 A、①②
B、①③
C、②④
D、③④

答案B

解析 若Ax=0与Bx=0同解,则n一秩(A)=n一秩(B),即秩(A)=秩(B),命题③成立,可排除A、C;但反过来,若秩(A)=秩B),则不能推出Ax=0与Bx=0同解,如

则秩(A)=秩(B)=1,但Ax=0与Bx=0不同解,可见命题④不成立,排除D,故正确选项为B。
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