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  3. (2005年试题，三(22))确定常数α，使向量组α1=(1，1，α)T，α2=(1，α2，1)T，α3=(α，1，1)T可由向量组β1=(1，1，α)T，β2=(一2，α,4)T，β3=(一2，α，α)T线性表示，但是向量组β1β2，β3不能由向量组α1

(2005年试题，三(22))确定常数α，使向量组α1=(1，1，α)T，α2=(1，α2，1)T，α3=(α，1，1)T可由向量组β1=(1，1，α)T，β2=(一2，α,4)T，β3=(一2，α，α)T线性表示，但是向量组β1β2，β3不能由向量组α1

admin2013-12-18  231
问题 (2005年试题，三(22))确定常数α，使向量组α1=(1，1，α)T，α2=(1，α2，1)T，α3=(α，1，1)T可由向量组β1=(1，1，α)T，β2=(一2，α,4)T，β3=(一2，α，α)T线性表示，但是向量组β1β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示
选项
答案根据题意得α1，α2，α3可由向量组Jβ1β2，β3。线性表示，所以3个方程组x1β1+x2β2+x3β3=αi(i=1，2，3)均有解．对增广矩阵作初等行变换，有[*]可见α≠4且α≠一2时，α1，α2，α3可由β1β2，β3线性表示．向量组β1β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示，即有3个方程组x1α1+x2α2+x3α3=βj(j=1，2，3)均无解．对增广矩阵作初等变换，有[*]可见α=1或α=一2时，β2，β3不能由α1，α2，α3线性表示．所以α=1时向量组α1，α2，α3可由向量组β1β2，β3线性表示，但β1β2，β3，不能由α1，α2，α3线性表示．评注两量组能否线性表示的问题完全转化为线性方程组是否有解的问题，若线性方程组无解，则向量组不能线性表示；若线性方程组有唯一解，则向量组可以线性表示，并且表示方法唯一；若线性方程组有无穷多组解，则向量量组可以线性表示，并且有无穷多种表示方法．在本题中，向量组β1β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示，必有行列式｜[α1，α2，α3]｜=0，从而可以确定α=1．
解析
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考研数学二

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