(12)已经知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2． (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=QY将f化为标准形．

admin2018-08-01 90

问题 (12)已经知A=

，二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x的秩为2．
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=QY将f化为标准形．

选项

答案(Ⅰ)因为r(A^TA)=r(A)，对A施以初等行变换 [*] 可见当a=-1时，r(A)=2，所以a=-1． (Ⅱ)由于a=-1，所以A^TA=[*]．矩阵A^TA的特征多项式为｜λE-A^TA｜ [*] =(λ-2)(λ²-6A)=λ(λ-2)(λ-6)，于是得A^TA的特征值为λ₁=2，λ₂=6，λ₃=0．对于λ₁=2，由求方程组(2E-A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ₁=2的一个单位特征向量[*](1，-1，0)^T；对于λ₂=6，由求方程组(6E-A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ₂=6的一个单位特征向量[*](1，1，2)^T；对于λ₃=0，由求方程组(A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ₃=0的一个单位特征向量[*](1，1，-1)^T．令矩阵Q=[*] 则f在正交变换x=Qy下的标准形为f=2y₁²+6y₂²．

解析

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考研数学二

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