2. 考研
  3. (12)已经知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2． (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=QY将f化为标准形．

(12)已经知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2． (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=QY将f化为标准形．

admin2018-08-01  79
问题 (12)已经知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2．
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=QY将f化为标准形．
选项
答案(Ⅰ)因为r(ATA)=r(A)，对A施以初等行变换 [*] 可见当a=-1时，r(A)=2，所以a=-1． (Ⅱ)由于a=-1，所以ATA=[*]．矩阵ATA的特征多项式为 ｜λE-ATA｜ [*] =(λ-2)(λ2-6A)=λ(λ-2)(λ-6)， 于是得ATA的特征值为λ1=2，λ2=6，λ3=0． 对于λ1=2，由求方程组(2E-ATA)x=0的一个非零解，可得属于λ1=2的一个单位特征向量[*](1，-1，0)T； 对于λ2=6，由求方程组(6E-ATA)x=0的一个非零解，可得属于λ2=6的一个单位特征向量[*](1，1，2)T； 对于λ3=0，由求方程组(ATA)x=0的一个非零解，可得属于λ3=0的一个单位特征向量[*](1，1，-1)T． 令矩阵Q=[*] 则f在正交变换x=Qy下的标准形为f=2y12+6y22．
解析
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考研数学二

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