(12)已经知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2． (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=QY将f化为标准形．

admin2018-08-01 56

问题 (12)已经知A=

，二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x的秩为2．
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=QY将f化为标准形．

选项

答案(Ⅰ)因为r(A^TA)=r(A)，对A施以初等行变换 [*] 可见当a=-1时，r(A)=2，所以a=-1． (Ⅱ)由于a=-1，所以A^TA=[*]．矩阵A^TA的特征多项式为｜λE-A^TA｜ [*] =(λ-2)(λ²-6A)=λ(λ-2)(λ-6)，于是得A^TA的特征值为λ₁=2，λ₂=6，λ₃=0．对于λ₁=2，由求方程组(2E-A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ₁=2的一个单位特征向量[*](1，-1，0)^T；对于λ₂=6，由求方程组(6E-A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ₂=6的一个单位特征向量[*](1，1，2)^T；对于λ₃=0，由求方程组(A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ₃=0的一个单位特征向量[*](1，1，-1)^T．令矩阵Q=[*] 则f在正交变换x=Qy下的标准形为f=2y₁²+6y₂²．

解析

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考研数学二

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(12)已经知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2． (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=QY将f化为标准形．

考研数学二

已知函数f(x)在区间[a，＋∞)上具有2阶导数，f(a)＝0，(x)＞0，(x)＞0，设b＞a，曲线y＝f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明a＜x0＜b．

设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3)．证明：存在ξ∈(0，3)，使得f"(ξ)-2f’(ξ)=0．

，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出．

设f(x)连续，证明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x-t)dt．

设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y"-6y’+9y=e3x，则y(x)=_______．

设D是xOy平面上以(1，1)，(-1，1)，(-1，-1)为顶点的三角形区域，D1为区域D位于第一象限的部分，则(xy+cosxsiny)dσ等于()．

设y=y(x)二阶可导，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解．

设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是()．

已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3．(1)写出二次型f的矩阵表达式；(2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．

设3元的实二次型f=xTAx的秩为1，且A的各行元素之和为3．求一个正交变换x=Py将二次型f=xTAx化成标准；

领料登记表是一种多次使用的领料凭证，一般是一式多联，各联次交付的部门可以不包括

D．氢溴酸东莨菪碱E．丁溴东茛菪碱属于祛痰药的药物是()。

钞票：美元：流通

2004年10月27日第十届全国人民代表大会常务委员会第十八次会议再次对《公司法》进行较全面的修订，并于2006年1月1日起施行。(　　)

建立农村最低生活保障制度，实行()负责制，按属地进行管理。

设an(x一1)n在x=一1处收敛，则此级数在x=2处()．

Inalittle-knownpartofthecounter-terrorismworld,oneofthemosteffectivedetectionsystemsisa600-poundanimal【C1】____

DearMr.Peterson,WithourvisittoFrancecomingtoanend,weareleavingforChinasoon.Onthemomentofleaving,I

(12)已经知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2． (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=QY将f化为标准形．

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已知函数f(x)在区间[a，＋∞)上具有2阶导数，f(a)＝0，(x)＞0，(x)＞0，设b＞a，曲线y＝f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明a＜x0＜b．

设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3)．证明：存在ξ∈(0，3)，使得f"(ξ)-2f’(ξ)=0．

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设f(x)连续，证明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x-t)dt．

设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y"-6y’+9y=e3x，则y(x)=_______．

设D是xOy平面上以(1，1)，(-1，1)，(-1，-1)为顶点的三角形区域，D1为区域D位于第一象限的部分，则(xy+cosxsiny)dσ等于()．

设y=y(x)二阶可导，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解．

设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是()．

已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3．(1)写出二次型f的矩阵表达式；(2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．

设3元的实二次型f=xTAx的秩为1，且A的各行元素之和为3．求一个正交变换x=Py将二次型f=xTAx化成标准；

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D．氢溴酸东莨菪碱E．丁溴东茛菪碱属于祛痰药的药物是()。

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2004年10月27日第十届全国人民代表大会常务委员会第十八次会议再次对《公司法》进行较全面的修订，并于2006年1月1日起施行。( )

建立农村最低生活保障制度，实行()负责制，按属地进行管理。

设an(x一1)n在x=一1处收敛，则此级数在x=2处()．

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2004年10月27日第十届全国人民代表大会常务委员会第十八次会议再次对《公司法》进行较全面的修订，并于2006年1月1日起施行。(　　)