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(12)已经知A=,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2. (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)求正交变换x=QY将f化为标准形.
(12)已经知A=,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2. (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)求正交变换x=QY将f化为标准形.
admin
2018-08-01
61
问题
(12)已经知A=
,二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
(A
T
A)x的秩为2.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)求正交变换x=QY将f化为标准形.
选项
答案
(Ⅰ)因为r(A
T
A)=r(A),对A施以初等行变换 [*] 可见当a=-1时,r(A)=2,所以a=-1. (Ⅱ)由于a=-1,所以A
T
A=[*].矩阵A
T
A的特征多项式为 |λE-A
T
A| [*] =(λ-2)(λ
2
-6A)=λ(λ-2)(λ-6), 于是得A
T
A的特征值为λ
1
=2,λ
2
=6,λ
3
=0. 对于λ
1
=2,由求方程组(2E-A
T
A)x=0的一个非零解,可得属于λ
1
=2的一个单位特征向量[*](1,-1,0)
T
; 对于λ
2
=6,由求方程组(6E-A
T
A)x=0的一个非零解,可得属于λ
2
=6的一个单位特征向量[*](1,1,2)
T
; 对于λ
3
=0,由求方程组(A
T
A)x=0的一个非零解,可得属于λ
3
=0的一个单位特征向量[*](1,1,-1)
T
. 令矩阵Q=[*] 则f在正交变换x=Qy下的标准形为f=2y
1
2
+6y
2
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/h2j4777K
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考研数学二
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