2. 考研
  3. 设f(x)为连续正值函数，x∈[0，+∞)，若平面区域Rt={(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y=f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(x)．

设f(x)为连续正值函数，x∈[0，+∞)，若平面区域Rt={(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y=f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(x)．

admin2018-06-27  55
问题 设f(x)为连续正值函数，x∈[0，+∞)，若平面区域Rt={(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y=f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(x)．
选项
答案(Ⅰ)列方程．按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为 [*]∫0tf2(x)dx／∫0tf(x)dx， 而相应的曲边梯形的面积为∫0tf(x)dx．见图6．2．按题意 [*] 即∫0tf2(x)dx=2[∫0tf(x)dx]2+∫0tf(x)dx(x≥0)． ① (Ⅱ)转化．将方程①两边求导，则 方程①[*]f2(t)=4f(t)∫0tf(x)dx+f(t) [*]f(t)=4∫0tf(x)dx+1 ② (①中令x=0，等式自然成立，不必另加条件)． f(x)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t=0得 [*] (Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边同乘μ(t)=e-∫4dt[*]e-4t得[f(x)e-4t]’=0，并由初始条件得f(t)=e乱，即f(x)=e4x．
解析
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考研数学二

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