设f(x)为连续正值函数,x∈[0,+∞),若平面区域Rt={(x,y)|0≤x≤t,0≤y≤f(x)}(t>0)的形心纵坐标等于曲线y=f(x)在[0,t]上对应的曲边梯形面积与之和,求f(x).

admin2018-06-27  50

问题 设f(x)为连续正值函数,x∈[0,+∞),若平面区域Rt={(x,y)|0≤x≤t,0≤y≤f(x)}(t>0)的形心纵坐标等于曲线y=f(x)在[0,t]上对应的曲边梯形面积与之和,求f(x).

选项

答案(Ⅰ)列方程.按平面图形的形心公式,形心的纵坐标为 [*]∫0tf2(x)dx/∫0tf(x)dx, 而相应的曲边梯形的面积为∫0tf(x)dx.见图6.2.按题意 [*] 即∫0tf2(x)dx=2[∫0tf(x)dx]2+∫0tf(x)dx(x≥0). ① (Ⅱ)转化.将方程①两边求导,则 方程①[*]f2(t)=4f(t)∫0tf(x)dx+f(t) [*]f(t)=4∫0tf(x)dx+1 ② (①中令x=0,等式自然成立,不必另加条件). f(x)实质上是可导的,再将方程②两边求导,并在②中令t=0得 [*] (Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③.这是一阶线性齐次方程的初值问题,两边同乘μ(t)=e-∫4dt[*]e-4t得[f(x)e-4t]’=0,并由初始条件得f(t)=e乱,即f(x)=e4x

解析
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